2011-广东卷理-07 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体，以及斜棱柱的几何结构与体积公式。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 如图，某几何体的正视图 (主视图) 是平行四边形，侧视图 (左视图) 和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ()

A. $6\sqrt{3}$　　　　　　B. $9\sqrt{3}$　　　　　　C. $12\sqrt{3}$　　　　　　D. $18\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正视图为平行四边形、侧视图与俯视图均为矩形，可知该几何体是一个以正视图为底面的四棱柱（四棱柱横放）。
2. 从俯视图的长 $1+2+1=4$ 与正视图底边长 $3$ 的正投影关系，得出倾斜边的水平投影长度为 $1$。
3. 结合斜边长为 $2$ 和水平投影长 $1$，通过勾股定理求得几何体的高。
4. 运用体积公式 $V=Sh$ 或柱体截面法计算体积。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知： 该几何体是一个横放的斜四棱柱（或直四棱柱以平行四边形为底面，垂直于侧视图方向延伸）。 在正视图（平行四边形）中： 上下底边长为 $3$，平行四边形的腰长为 $2$。 由俯视图在底边方向上的投影宽度为 $1+2+1=4$（其中底边本身长 $3$，水平外凸部分为 $1$），可知腰在该水平方向的投影长为 $1$。 因此，正视图平行四边形的高为： $h_{\text{正}}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 正视图平行四边形的面积为： $S_{\text{正}}=3\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$ 由侧视图可知，几何体沿垂直于正视图方向的厚度（柱体的高）为 $3$。 故该几何体的体积为： $V=S_{\text{正}}\times 3=3\sqrt{3}\times 3=9\sqrt{3}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图尺寸对应规律（长对正、高平齐、宽相等）与柱体体积公式 $V=Sh$。
• 核心方法：将正视图直接视作柱体的“底面”，将侧视图的宽视作柱体的“高”，避免斜向切割的繁杂计算。
• 避坑指南：不可把腰长 $2$ 误当作正视图的垂直高，必须利用俯视图提供的水平投影差 $4-3=1$ 计算出高 $\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于祖暅原理与斜棱柱、直平行六面体的体积计算。
• 结论推广：柱体任意截面面积为 $A$，若母线与截面法向量夹角为 $\theta$，沿母线方向长度为 $L$，则体积 $V=A\cdot L\cos \theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2012-北京卷文-07 单-三视图表面积
• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体