2011-广东卷理-16 解-三角函数

本题导读

本题考查正弦型函数的求值。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=2\sin \left(\frac{1}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)$，$x\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)$ 的值；

(2) 设 $\alpha ,\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，$f\left(3\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\frac{10}{13}$，$f(3\beta +2\pi )=\frac{6}{5}$，求 $\cos (\alpha +\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：直接将 $x=\frac{5\pi }{4}$ 代入解析式计算角的大小，求出正弦值。
2. 第 (2) 问：将自变量分别代入解析式，结合诱导公式求出 $\cos \alpha$ 与 $\sin \beta$（或 $\cos \beta$）。
3. 结合角的取值范围 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，利用同角三角函数关系式求出 $\sin \alpha$ 和 $\cos \beta$。
4. 运用两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 计算最终结果。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，将 $x=\frac{5\pi }{4}$ 代入函数解析式得： $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)=2\sin \left(\frac{1}{3}\times \frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(\frac{5\pi }{12}-\frac{2\pi }{12}\right)=2\sin \frac{\pi }{4}=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

(2) 因为 $f\left(3\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=2\sin \left[\frac{1}{3}\left(3\alpha +\frac{\pi }{2}\right)-\frac{\pi }{6}\right]=2\sin \alpha =\frac{10}{13}$ 所以 $\sin \alpha =\frac{5}{13}$ 又 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$

由 $f(3\beta +2\pi )=2\sin \left[\frac{1}{3}(3\beta +2\pi )-\frac{\pi }{6}\right]=2\sin \left(\beta +\frac{\pi }{2}\right)=2\cos \beta =\frac{6}{5}$ 所以 $\cos \beta =\frac{3}{5}$ 又 $\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$

由两角和的余弦公式得： $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\frac{12}{13}\times \frac{3}{5}-\frac{5}{13}\times \frac{4}{5}=\frac{36-20}{65}=\frac{16}{65}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦型函数求值、诱导公式 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \theta$、同角基本关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$、两角和公式。
• 核心方法：变量替换法化简角，勾股数（5, 12, 13 与 3, 4, 5）快速求三角函数值。
• 避坑指南：带入自变量时务必先乘以系数 $\frac{1}{3}$，不可直接把括号内的整体与 $x$ 混淆；开方定符号时紧扣 $\alpha ,\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于人教A版必修4三角恒等变换章节的经典求值综合题。
• 结论推广：对于一般的 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$，通过构造 $x_1,x_2$ 消去初相 $\phi$，可分离出单角三角函数并进一步展开求解任意线性角组合 $\cos (k_1\alpha +k_2\beta )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2006-上海卷理-06 填-象限角的三角函数值符号
• 1977-上海理-01(4）