2011-新课标卷文-12 单-周期函数图象交点

本题导读

本题考查周期函数的图象，以及对数函数图象。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 已知函数 $y=f(x)$ 的周期为 $2$，当 $x\in [-1,1]$ 时 $f(x)=x^2$，那么函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=|\lg x|$ 的图象的交点共有 ()

A. $10$ 个　　　　　B. $9$ 个　　　　　C. $8$ 个　　　　　D. $1$ 个

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：按周期把 $f(x)=(x-2k{)}^2$ 分段
2. 步骤2：与 $|\lg x|$ 分段比较单调性与端点符号计数

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对 $x>0$，由周期性知，在区间 $[2k-1,2k+1]$ 上有 $f(x)=(x-2k{)}^2$。

先看 $0<x<1$，此时 $f(x)=x^2$，方程化为 $x^2+\lg x=0$。左端函数导数为 $2x+\frac{1}{x\ln 10}>0$，且当 $x\to 0^{+}$ 时趋于负无穷，在 $x=1$ 时为 $1$，故有且只有一个交点。

对 $k=1,2,3,4$，在 $[2k-1,2k]$ 上，$(x-2k{)}^2$ 递减而 $\lg x$ 递增，端点处两者之差分别为 $1-\lg (2k-1)>0$ 和 $-\lg (2k)<0$，故各有一个交点。在 $[2k,2k+1]$ 上，令 $g_k(x)=(x-2k{)}^2-\lg x$，则 $g_k^{\prime \prime }(x)=2+\frac{1}{x^2\ln 10}>0$，且 $g_k(2k)<0$、$g_k(2k+1)=1-\lg (2k+1)>0$，故各有一个交点。

当 $k=5$ 时，左半段 $[9,10]$ 有一个交点；右半段 $[10,11]$ 两端的差分别为 $-1$ 和 $1-\lg 11<0$，结合 $g_5^{\prime \prime }(x)>0$ 可知该段无交点。若 $x⩾11$，则 $|\lg x|=\lg x>1$，而 $0⩽f(x)⩽1$，也无交点。

因此交点总数为 $1+2\times 4+1=10$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期函数的分段表达；分段比较单调性与端点值；交点计数不重不漏

核心方法：周期展开为 $(x-2k{)}^2$ → 与 $\lg x$ 按半周期段逐段比较端点差 → 靠 $|\lg |⩽1$ 的上界封顶

避坑指南：$x⩾10$ 后 $|\lg x|$ 可以超过 $1$，必须逐段验证到 $k=5$ 才能封顶；漏掉 $[9,10]$ 这一段会数出 $9$ 个错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期函数与对数函数交点计数压轴题，与 2012 年江苏卷第 10 题、2012 年湖北卷文第 3 题同族。

结论推广：波峰恒为 $1$ 的周期抛物线与 $\lg x$ 的交点集中在 $|\lg x|⩽1$ 即 $x⩽10$ 内；“上界封顶”是这类交点计数收尾的通用手法。

方法推广：图象交点计数压轴：先写分段表达式 → 每段用单调性 + 端点符号定交点数 → 找全局上界（如 $|\lg |⩽1$）封闭计数，不漏尾段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-10 填-分段函数周期性
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数
• 2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数