2011-新课标卷理-20 解-抛物线

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算与平行垂直。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,-1)$，$B$ 点在直线 $y=-3$ 上，$M$ 点满足 $\overrightarrow{MB}\parallel \overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{BA}$，$M$ 点的轨迹为曲线 $C$.

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) $P$ 为 $C$ 上的动点，$l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：设动点 $M(x,y)$。由 $B$ 在直线 $y=-3$ 上且 $\overrightarrow{MB}\parallel \overrightarrow{OA}$（$\overrightarrow{OA}=(0,-1)$ 为沿 $y$ 轴方向），得点 $B$ 的横坐标与 $M$ 相同，即 $B(x,-3)$。将相关向量坐标代入数量积等式化简，求得 $C$ 的轨迹方程。
2. 对 (2)：设切点 $P(t,\frac{1}{4}{t}^2-2)$，对抛物线求导得切线斜率 $k=\frac{1}{2}t$。写出切线 $l$ 的点斜式与一般式方程，代入原点到直线的距离公式得到关于 $t$ 的函数，换元或利用基本不等式/二次函数求最小值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $M(x,y)$。 因为点 $B$ 在直线 $y=-3$ 上，可设 $B(x_B,-3)$。 由已知 $A(0,-1)$，所以 $\overrightarrow{OA}=(0,-1)$，$\overrightarrow{MB}=(x_B-x,-3-y)$。 因为 $\overrightarrow{MB}\parallel \overrightarrow{OA}$，所以： $(x_B-x)\times (-1)-(-3-y)\times 0=0⟹x_B-x=0⟹x_B=x$ 故 $B(x,-3)$。 则： $\overrightarrow{AB}=(x,-2),\overrightarrow{BA}=(-x,2),\overrightarrow{MA}=(-x,-1-y),\overrightarrow{MB}=(0,-3-y)$ 由已知条件 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{BA}$，得： $(-x)\cdot x+(-1-y)\cdot (-2)=0\cdot (-x)+(-3-y)\cdot 2$ 化简： $-x^2+2+2y=-6-2y$ $4y=x^2-8⟺x^2=4y+8⟺x^2=4(y+2)$ （也可写为 $y=\frac{1}{4}{x}^2-2$）。 故曲线 $C$ 的方程为 $x^2=4(y+2)$（或 $y=\frac{1}{4}{x}^2-2$）。

(2) 设动点 $P\left(t,\frac{1}{4}{t}^2-2\right)$ 为曲线 $C$ 上的任意一点。 对 $y=\frac{1}{4}{x}^2-2$ 求导，得 $y^{\prime }=\frac{1}{2}x$。 因此，曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 的斜率为 $k=\frac{1}{2}t$。 切线 $l$ 的方程为： $y-\left(\frac{1}{4}{t}^2-2\right)=\frac{1}{2}t(x-t)$ 整理为一般式方程： $\frac{1}{2}tx-y-\frac{1}{4}{t}^2-2=0⟺2tx-4y-t^2-8=0$ 原点 $O(0,0)$ 到切线 $l$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|2t(0)-4(0)-t^2-8|}{\sqrt{(2t{)}^2+(-4{)}^2}}=\frac{t^2+8}{\sqrt{4t^2+16}}=\frac{t^2+8}{2\sqrt{t^2+4}}$ 令 $u=\sqrt{t^2+4}$，因为 $t^2⩾0$，所以 $u⩾2$。 则 $t^2=u^2-4$，代入 $d$ 的表达式： $d=\frac{(u^2-4)+8}{2u}=\frac{u^2+4}{2u}=\frac{1}{2}\left(u+\frac{4}{u}\right)$ 因为函数 $g(u)=u+\frac{4}{u}$ 在 $[2,+\infty )$ 上单调递增， 所以当 $u=2$（即 $t=0$）时，$g(u)$ 取得最小值： $g(2)=2+\frac{4}{2}=4$ 此时距离 $d$ 取得最小值： $d_{\min }=\frac{1}{2}\times 4=2$ 故 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量平行垂直转化动点坐标、导数的几何意义求切线、点到直线距离公式及函数最值。
• 核心方法：
• 第 (1) 问用代数坐标法直接代换，也可用向量变形 $(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 结合中垂线性质；
• 第 (2) 问求分式根号距离最值时，换元 $u=\sqrt{t^2+4}$ 化为对勾函数形式求解。
• 避坑指南：第 (2) 问换元 $u=\sqrt{t^2+4}⩾2$，对勾函数 $u+\frac{4}{u}$ 的极值点恰在 $u=2$ 处，务必验证自变量范围是否包含拐点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自人教版抛物线第一定义（点 $M$ 到点 $A$ 的距离等于到直线 $y=-3$ 的距离）与导数切线几何最值的综合应用。
• 结论推广：抛物线 $x^2=2p(y+y_0)$ 的切线到特定对称轴上定点的距离极值，恒在该抛物线的顶点切线（水平切线）处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2008-浙江卷文-22 解-抛物线轨迹定直线
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算