2011-新课标卷理-24 解-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 设函数 $f(x)=|x-a|+3x$，其中 $a>0$.

(1) 当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)⩾3x+2$ 的解集；

(2) 若不等式 $f(x)⩽0$ 的解集为 $\{x\mid x⩽-1\}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：将 $a=1$ 代入，不等式两边消去同类项 $3x$，直接转化为关于 $|x-1|$ 的基础绝对值不等式并求解。
2. 对 (2)：按绝对值零点 $x=a$ 分段去掉绝对值符号，分别解出各段内的不等式解集；由解集恰为 $\{x\mid x⩽-1\}$ 对应边界点解出 $a$ 的值。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=|x-1|+3x$。 不等式 $f(x)⩾3x+2$ 即为： $|x-1|+3x⩾3x+2$ 两边同减去 $3x$，得： $|x-1|⩾2$ 解此绝对值不等式得： $x-1⩾2\text{或}x-1⩽-2$ 解得： $x⩾3\text{或}x⩽-1$ 所以，不等式 $f(x)⩾3x+2$ 的解集为 $\{x\mid x⩽-1\text{ 或 }x⩾3\}$。

(2) 由 $a>0$，将函数 $f(x)$ 按零点 $x=a$ 化为分段形式： $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-a)+3x=4x-a,& x⩾a\\ -(x-a)+3x=2x+a,& x<a\end{array}$ 对于不等式 $f(x)⩽0$： ① 当 $x⩾a$ 时： $4x-a⩽0⟹x⩽\frac{a}{4}$ 因为 $a>0$，所以 $\frac{a}{4}<a$，此不等式组 $\{\begin{array}{l}x⩾a\\ x⩽\frac{a}{4}\end{array}$ 无解。 ② 当 $x<a$ 时： $2x+a⩽0⟹x⩽-\frac{a}{2}$ 因为 $a>0$，所以 $-\frac{a}{2}<0<a$，故不等式组的解集为： $\left\{x|x⩽-\frac{a}{2}\right\}$ 综上，不等式 $f(x)⩽0$ 的解集为 $\left\{x|x⩽-\frac{a}{2}\right\}$。 已知其解集为 $\{x\mid x⩽-1\}$，所以： $-\frac{a}{2}=-1⟹a=2$ 故 $a$ 的值为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值基本不等式的解法、分段函数模型及解集的逆推。
• 核心方法：
• 第 (1) 问两端同时含 $3x$，移项相消最为快捷，无需多余分段；
• 第 (2) 问零点分段法化简函数，注意结合 $a>0$ 快速判定 $x⩾a$ 时的无解情况。
• 避坑指南：写解集必须用集合或区间形式表示；第 (2) 问也可利用连续函数的边界零点 $f(-1)=0$ 快速列出方程 $|-1-a|-3=0⟹a+1=3⟹a=2$（因 $a>0$），但解答题需配合单调性或分段检验其完整充要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修4-5《不等式选讲》中基础绝对值不等式的正向与逆向求解经典考题。
• 结论推广：形如 $f(x)=|x-a|+kx$（$k>1$）在整个定义域上单调递增，故 $f(x)⩽0$ 的解集必然形如 $(-\infty ,x_0]$，其中 $x_0$ 是唯一的实根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-07 单-分段函数零点个数
• 2013-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式
• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式