2011-江苏卷-17 解-包装盒折叠最值

本题导读

本题考查空间几何体的展开与折叠，以及二次函数的最值。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 请你设计一个包装盒.如图所示，$ABCD$ 是边长为 $60\mathrm{cm}$ 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个点重合于图中的点 $P$，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，$E$，$F$ 在 $AB$ 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点.设 $AE=FB=x$（cm）.

(1) 若广告商要求包装盒侧面积 $S$（cm${}^2$）最大，试问 $x$ 应取何值？

(2) 若广告商要求包装盒容积 $V$（cm${}^3$）最大，试问 $x$ 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：折叠关系定出 $a=\sqrt{2}x$
2. 步骤2：$h=\sqrt{2}(30-x)$
3. 步骤3：(1) 配方法求 $S$ 最大
4. 步骤4：(2) 求导定 $V$ 最大

✅【答案】

点击查看答案

(1) $x=15$

(2) $x=20$，此时高与底面边长的比值为 $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设包装盒的底面边长为 $a$，高为 $h$。由 $AE=FB=x$ 及 $AB=60$，被切去的等腰直角三角形的斜边长 $EF=60-2x$，故 $0<x<30$。

由折叠关系，底面正方形的边长是两条直角边长为 $x$ 的线段所对的斜边，即 $a=\sqrt{2}x$；该等腰直角三角形的直角边折起后成为柱体的高，$h=\frac{\sqrt{2}}{2}(60-2x)=\sqrt{2}(30-x)$。

（1）侧面积

$S=4ah=4\times \sqrt{2}x\times \sqrt{2}(30-x)=8x(30-x)=-8(x-15{)}^2+1800$。

当 $x=15$（cm）时，$S$ 取得最大值。

（2）容积

$V=a^{2}h=2\sqrt{2}{x}^2(30-x)$（$0<x<30$）。

求导得 $V^{\prime }=2\sqrt{2}(60x-3x^2)=6\sqrt{2}x(20-x)$。

当 $0<x<20$ 时 $V^{\prime }>0$，$V$ 单调递增；当 $20<x<30$ 时 $V^{\prime }<0$，$V$ 单调递减。故 $x=20$ 时 $V$ 取得最大值。

此时 $h=\sqrt{2}(30-20)=10\sqrt{2}$，$a=\sqrt{2}\times 20=20\sqrt{2}$，比值 $\frac{h}{a}=\frac{10\sqrt{2}}{20\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。

即 $x$ 应取 $20$（cm），包装盒的高与底面边长的比值为 $1:2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠前后的几何量对应关系；二次函数最值；导数在实际优化问题中的应用

核心方法：抓准”切去的直角边 → 柱体的高""保留的斜边 → 底面边长”两个对应，再分别用配方法与导数法求最值

避坑指南：自变量的实际范围 $0<x<30$ 必须交代；第（2）问有两问，求出 $x=20$ 后别忘了算高与底面边长的比值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：折叠建模与导数最值应用题，与 2013 年江苏卷第 8 题（柱锥体积）、2012 年江苏卷第 18 题（三次函数）同族。

结论推广：对边长 $L$ 的正方形板材按同法折叠，容积函数形如 $V\propto x^2(L-2x)$，容积最大时 $x=\frac{L}{3}$，高与底面边长之比恒为 $1:2$。

方法推广：实际最值题按”设元 → 列函数 → 定范围 → 选方法（二次配方或求导）→ 作答”执行，解答题中定义域缺失会扣分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-08 填-柱体与锥体的体积计算
• 2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点