2011-江西卷文-11 填-向量数量积基底运算

本题导读

本题考查单位向量，以及向量数量积的分配律。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 已知两个单位向量 $e_1$，$e_2$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，若向量 $b_1=e_1-2e_2$，$b_2=3e_1+4e_2$，则 $b_1\cdot b_2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：展开 $(e_1-2e_2)\cdot (3e_1+4e_2)$
2. 步骤2：代入 $e_1^2=e_2^2=1$
3. 步骤3：$e_1\cdot e_2=\frac{1}{2}$

✅【答案】

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$-6$

✍【详细解析】

Abstract

$e_1$，$e_2$ 为单位向量且夹角 $\frac{\pi }{3}$，故 $e_1^2=e_2^2=1$，$e_1\cdot e_2=1\times 1\times \cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$。

展开：$b_1\cdot b_2=(e_1-2e_2)\cdot (3e_1+4e_2)=3e_1^2+4e_1\cdot e_2-6e_1\cdot e_2-8e_2^2$。

$=3+(4-6)\times \frac{1}{2}-8=3-1-8=-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：单位向量的数量积；夹角公式 $\cos \theta =\frac{e_1\cdot e_2}{|e_1||e_2|}$；数量积的分配律

核心方法：全部展开成 $e_1^2$，$e_1\cdot e_2$，$e_2^2$ 三类基本量，代入夹角与模长

避坑指南：交叉项系数是 $4-6=-2$ 不是 $+2$（第二项 $+4e_1\cdot e_2$、第三项 $-6e_1\cdot e_2$）；$e_1\cdot e_2=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，误用 $\cos \frac{\pi }{3}$ 之外的值（如 $\frac{\sqrt{3}}{2}$）会全盘错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积题与 2011-福建卷文-13、2012-新课标卷文-15、2011-辽宁卷文-03 同族。

结论推广：推广：$(a{e}_1+b{e}_2)\cdot (c{e}_1+d{e}_2)=ac+bd+(ad+bc)\cos \theta$（单位向量），交叉系数之和 $(ad+bc)$ 与 $\cos \theta$ 的乘积常是中间项；基底法把一切数量积化归为三个基本量。

方法推广：基底向量题：选单位基底并列出三个基本量（两个模、一个夹角），展开合并即得；不必建系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-13 填-向量数量积坐标运算
• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2011-辽宁卷文-03 单-向量垂直数量积求参