2011-辽宁卷文-03 单-向量垂直数量积求参

本题导读

本题考查向量数量积的坐标运算，以及垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 已知向量 $a=(2,1)$，$b=(-1,k)$，$a\cdot (2a-b)=0$，则 $k=$ ()

A. $-12$　　　　　　　B. $-6$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：展开 $a\cdot (2a-b)=0$
2. 步骤2：代入坐标解 $k$

✅【答案】

点击查看答案

D$k=12$

✍【详细解析】

Abstract

$2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)$。

由 $a\cdot (2a-b)=0$：$2\times 5+1\times (2-k)=0$，即 $10+2-k=0$，解得 $k=12$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积的坐标公式；向量垂直与数量积为零的等价关系

核心方法：先做向量线性运算得 $2a-b$ 的坐标，再套 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

避坑指南：别把 $a\cdot (2a-b)=0$ 拆成 $a\cdot 2a=0$ 与 $a\cdot b=0$——数量积对加法可分配但不能对等式”分项置零”；$2a-b$ 的纵坐标是 $2-k$，漏掉 $2$ 倍的系数会算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积题与 2011-福建卷文-13、2011-重庆卷文-05、2012-天津卷文-08 同族。

结论推广：推广：$a\cdot (2a-b)=0$ 即 $2|a{|}^2=a\cdot b$，把未知数集中到 $b$ 的分量上；一般 $a\cdot (\lambda a+\mu b)=0$ 可先化为 $\lambda |a{|}^2+\mu a\cdot b=0$ 再代入坐标。

方法推广：向量垂直题：先展开化简（能提模长就提模长），再代入坐标，最后解方程；全程用坐标可避免画图。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-13 填-向量数量积坐标运算
• 2011-重庆卷文-05 单-向量共线与数量积
• 2012-天津卷文-08 单-向量数量积求参数