2011-浙江卷文-15 填-向量夹角范围

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量夹角。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 若平面向量 $\alpha$，$\beta$ 满足 $|\alpha |=1$，$|\beta |⩽1$，且以向量 $\alpha$，$\beta$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\frac{1}{2}$，则 $\alpha$ 和 $\beta$ 的夹角 $\theta$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：面积 $=|\alpha ||\beta |\sin \theta \Rightarrow \sin \theta =\frac{1}{2|\beta |}⩾\frac{1}{2}$
2. 步骤2：结合 $\theta \in (0,\pi )$ 定范围

✅【答案】

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$\left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

以 $\alpha$，$\beta$ 为邻边的平行四边形面积 $S=|\alpha ||\beta |\sin \theta =\frac{1}{2}$。

由 $|\alpha |=1$：$\sin \theta =\frac{1}{2|\beta |}$。又 $0<|\beta |⩽1$（$|\beta |=0$ 时面积为零，不合），故 $\sin \theta ⩾\frac{1}{2}$。

夹角范围 $0<\theta <\pi$，故 $\frac{\pi }{6}⩽\theta ⩽\frac{5\pi }{6}$。

反之，对该范围内任一 $\theta$，取 $|\beta |=\frac{1}{2\sin \theta }⩽1$ 即可实现面积 $\frac{1}{2}$，故取值范围恰为闭区间 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量夹角与平行四边形面积；含参不等式的双向可达性

核心方法：面积公式给 $\sin \theta$ 与 $|\beta |$ 的关系；$|\beta |⩽1$ 放大出 $\sin \theta ⩾\frac{1}{2}$，再在 $(0,\pi )$ 内解正弦不等式

避坑指南：夹角 $\theta$ 恒在 $(0,\pi )$ 内，$\sin \theta ⩾\frac{1}{2}$ 的解是两段式闭区间而非 $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$；$|\beta |$ 能取到 $1$ 使 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ 可达，端点为闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量夹角题与 2014-山东卷文-07、2013-安徽卷文-13、2012-湖北卷文-13 同族。

结论推广：推广：平行四边形面积 $S=|\alpha ||\beta |\sin \theta$ 与数量积 $|\alpha ||\beta |\cos \theta$ 配对，$S^2+(\alpha \cdot \beta {)}^2=|\alpha {|}^2|\beta {|}^2$。

方法推广：向量夹角范围题：面积/投影条件化为 $\sin \theta$ 或 $\cos \theta$ 的不等式，最后务必写明 $\theta \in (0,\pi )$ 再解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-07 单-向量夹角
• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2012-湖北卷文-13 填-向量单位向量与夹角