2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的模与夹角。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 若非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3|\vec{b}|=|\vec{a}+2\vec{b}|$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $|\vec{b}|=1$，则 $|\vec{a}|=3$。
2. $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=9+4+4\vec{a}\cdot \vec{b}=9$ → $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$。
3. $\cos \theta =\frac{-1}{3\times 1}=-\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $|\vec{a}|=3|\vec{b}|=|\vec{a}+2\vec{b}|$，设 $|\vec{b}|=1$（比值不影响结果），则 $|\vec{a}|=3$ 且 $|\vec{a}+2\vec{b}|=3$。 将模的条件平方： $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=9+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4=9,$ 解得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$。 由夹角公式， $\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-1}{3\times 1}=-\frac{1}{3}.$ （一般地：$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=9|\vec{b}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=9|\vec{b}{|}^2\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{b}{|}^2$，而 $|\vec{a}||\vec{b}|=3|\vec{b}{|}^2$，比值同。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模与夹角（模条件展开）

核心方法：$|\vec{a}|=3|\vec{b}|=|\vec{a}+2\vec{b}|$ → 设 $|\vec{b}|=1$：$9=|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=9+4+4\vec{a}\cdot \vec{b}$ → $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ → $\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩=\frac{-1}{3}$

避坑指南：模的条件平方展开是标准动作：$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2$——中间项系数 $4$（来自 $2\times 2$）别写成 $2$；最后夹角余弦分母是 $|\vec{a}||\vec{b}|=3|\vec{b}{|}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与模（安徽卷填空）。

结论推广：$|\vec{u}{|}^2=\vec{u}\cdot \vec{u}$；$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

方法推广：设 $|\vec{b}|$ 为参数 → 模条件平方展开 → 解数量积 → 求夹角余弦。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积
• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参
• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直