2012-福建卷文-21 解-抛物线切线定点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程。核心在于向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 如图，等边三角形 $OAB$ 的边长为 $8\sqrt{3}$，且其三个顶点均在抛物线 $E$：$x^2=2py$（$p>0$）上.

(1)求抛物线 $E$ 的方程；

(2)设动直线 $l$ 与抛物线 $E$ 相切于点 $P$，与直线 $y=-1$ 相交于点 $Q$. 证明：以 $PQ$ 为直径的圆恒过 $y$ 轴上某定点.

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🔍【思路分析】

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（1）$x^2=4y$；（2）切点 $P(2t,t^2)$，$Q\left(t-\frac{1}{t},-1\right)$，取 $X(0,1)$ 验证 $\overrightarrow{XP}\cdot \overrightarrow{XQ}=0$ 恒成立，圆恒过定点 $(0,1)$。

✅【答案】

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(1)$x^2=4y$；(2)证明见解析（定点为 $(0,1)$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由对称性设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $y_1,y_2⩾0$，$x_i^2=2p{y}_i$。

由 $OA=OB$ 得 $2p{y}_1+y_1^2=2p{y}_2+y_2^2$；函数 $g(y)=2py+y^2$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格递增，故 $y_1=y_2$，进而 $x_2=-x_1$，$AB$ 平行 $x$ 轴。

由 $AB=8\sqrt{3}$ 得 $2|x_1|=8\sqrt{3}$，$x_1^2=48$；由 $OA=8\sqrt{3}$ 得 $48+y_1^2=192$，$y_1=12$。

代入 $x_1^2=2p{y}_1$：$48=24p$，$p=2$，故抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=4y$。

（2）设切点 $P(2t,t^2)$。对 $x^2=4y$ 求导得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$，切线斜率为 $t$，切线 $l$：$y-t^2=t(x-2t)$，即 $y=tx-t^2$。

$l$ 与 $y=-1$ 相交，故 $t\ne 0$，交点 $Q\left(t-\frac{1}{t},-1\right)$。

取定点 $X(0,1)$，则 $\overrightarrow{XP}=(2t,t^2-1)$，$\overrightarrow{XQ}=\left(t-\frac{1}{t},-2\right)$，

$\overrightarrow{XP}\cdot \overrightarrow{XQ}=2t\left(t-\frac{1}{t}\right)-2(t^2-1)=2t^2-2-2t^2+2=0$。

故 $\angle PXQ=90^{\circ }$ 恒成立，由”直径所对的圆周角是直角”知点 $X(0,1)$ 恒在以 $PQ$ 为直径的圆上，即该圆恒过 $y$ 轴上的定点 $(0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线方程的待定求法；导数求切线；圆的几何性质（直径圆周角）

核心方法：利用等边三角形的对称性把三点条件化简；切点参数化后写切线；定点问题转化为向量数量积恒为零

避坑指南：$t\ne 0$（$t=0$ 时切线 $y=0$ 与 $y=-1$ 平行，无交点 $Q$）；验证定点时先猜后证：直径圆过定点 $⟺$ 该点对 $P$、$Q$ 的张角恒为直角，用数量积检验比硬算圆方程省力。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线切线与定点问题，与 2013 年浙江卷文第 22 题、2013 年山东卷文第 11 题同族。

结论推广：$x^2=4y$ 上点 $(2t,t^2)$ 处切线为 $y=tx-t^2$；以 $PQ$ 为直径的圆过定点 $X⟺\overrightarrow{XP}\cdot \overrightarrow{XQ}=0$ 恒成立。

方法推广：圆锥曲线定点问题的标准流程：参数化动点 $\to$ 用几何特征（直角、距离、共线）翻译定点条件 $\to$ 恒等式验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-22 解-抛物线弦长最值
• 2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线
• 2014-四川卷理-14 填-直线的交点与定点问题