2011-湖北卷文-09 单-竹九节等差数列

本题导读

本题考查等差数列的应用，以及基本量法。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 $9$ 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 $4$ 节的容积共 $3$ 升，下面 $3$ 节的容积共 $4$ 升，则第 $5$ 节的容积为 ()

A. $1$ 升　　　　B. $\frac{67}{66}$ 升　　　　C. $\frac{47}{44}$ 升　　　　D. $\frac{37}{33}$ 升

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：自上而下设 $a_1$ 与 $d$
2. 步骤2：两条和式方程解基本量
3. 步骤3：再求 $a_5$

✅【答案】

点击查看答案

B$\frac{67}{66}$ 升

✍【详细解析】

Abstract

设自上而下第 $n$ 节容积为 $a_n$，公差 $d$（越往下容积越大，$d>0$）。

上面 $4$ 节：$a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=3$；

下面 $3$ 节：$a_7+a_8+a_9=3a_1+(6+7+8)d=3a_1+21d=4$。

由第一式 $a_1=\frac{3-6d}{4}$，代入第二式：$\frac{9-18d}{4}+21d=4$，即 $9-18d+84d=16$，解得 $d=\frac{7}{66}$，$a_1=\frac{156}{264}=\frac{13}{22}$。

第 $5$ 节：$a_5=a_1+4d=\frac{13}{22}+\frac{28}{66}=\frac{39+28}{66}=\frac{67}{66}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的前 $n$ 项和；基本量方程组

核心方法：“上 4 节和""下 3 节和”各列一条方程，基本量 $a_1$，$d$ 可解

避坑指南：“自上而下”是公差的正方向——$d>0$（下粗上细），解出的正 $d$ 自动作核；下 $3$ 节的下标和 $6+7+8=21$ 别误当 $18$；分数运算量大，末步 $a_5$ 通分易错，可代回 $4a_1+6d=3$ 验算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列应用题与 2011-大纲卷文-06、2012-辽宁卷文-04、2013-上海卷文-02 同族。

结论推广：推广：等差数列中连续 $k$ 项之和仍成等差数列——上 $4$ 节和 $3$、中 $2$ 节和 $x$、下 $3$ 节和 $4$ 可借助”和的平均数 = 中位项”快速定位：$a_5$ 是第 $2$、$3$ 组的平均中心。

方法推广：数列应用题：先定下标方向（谁递增），再按”和 = 项数 × (首 + 末)/2”或基本量列方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和
• 2012-辽宁卷文-04 单-等差数列性质
• 2013-上海卷文-02 填-等差数列性质