2011-湖北卷文-20 解-导数切线与恒成立

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及公切线。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3+2a{x}^2+bx+a$，$g(x)=x^2-3x+2$，其中 $x\in \mathbf{R}$，$a$，$b$ 为常数，已知曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 在点 $(2,0)$ 处有相同的切线 $l$.

(1)求 $a$，$b$ 的值，并写出切线 $l$ 的方程；

(2)若方程 $f(x)+g(x)=mx$ 有三个互不相同的实根 $0$，$x_1$，$x_2$，其中 $x_1<x_2$，且对任意的 $x\in [x_1,x_2]$，$f(x)+g(x)<m(x-1)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：共切点条件 $f(2)=g(2)=0$、$f^{\prime }(2)=g^{\prime }(2)=1$ 解 $a$
2. 步骤2：$b$
3. 步骤3：$f+g-m(x-1)$ 因式分解 $(x-1)(x^2-2x-m)$ 后按符号讨论

✅【答案】

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(1)$a=-2$，$b=5$，切线 $l$：$x-y-2=0$

(2)$m\in \left(-\frac{1}{4},0\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(2)=8+8a+2b+a=0$，即 $9a+2b=-8$；$f^{\prime }(x)=3x^2+4ax+b$，$f^{\prime }(2)=12+8a+b$。

$g^{\prime }(x)=2x-3$，$g^{\prime }(2)=1$。同切线要求 $f^{\prime }(2)=1$，即 $8a+b=-11$。

两式联立：$9a+2b=-8$ 与 $8a+b=-11$，解得 $a=-2$，$b=5$。

切线过 $(2,0)$、斜率 $1$：$y=x-2$，即 $x-y-2=0$。

（2）$a=-2$，$b=5$ 时 $f(x)+g(x)=x^3-4x^2+5x-2+x^2-3x+2=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$。

方程 $f(x)+g(x)=mx$ 即 $x\left[x^2-3x+(2-m)\right]=0$，三根 $0$，$x_1$，$x_2$ 中 $x_1$，$x_2$ 是 $x^2-3x+2-m=0$ 的两根，需 $\Delta =1+4m>0$，即 $m>-\frac{1}{4}$；且 $x_1+x_2=3$，$x_1{x}_2=2-m$。

恒成立式：$f(x)+g(x)-m(x-1)=x^3-3x^2+(2-m)x+m=(x-1)\left[x^2-2x-m\right]$。

当 $-\frac{1}{4}<m<0$ 时，$x_1=\frac{3-\sqrt{1+4m}}{2}\in \left(1,\frac{3}{2}\right)$，$x_2=\frac{3+\sqrt{1+4m}}{2}\in \left(\frac{3}{2},2\right)$，故在 $[x_1,x_2]$ 上 $x-1>0$。

于是恒成立等价于 $x^2-2x-m=(x-1{)}^2-(1+m)<0$ 对 $x\in [x_1,x_2]$ 成立，其最大值在 $x=x_2$（区间离 $1$ 最远端）取得：${\left(\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}\right)}^2<1+m$。

展开：$\frac{2+2\sqrt{1+4m}+4m}{4}<1+m$，即 $\sqrt{1+4m}<1$，得 $m<0$。

综上 $-\frac{1}{4}<m<0$，即 $m\in \left(-\frac{1}{4},0\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：公切点的双条件（函数值 + 导数值相等）；三次多项式的因式分解；区间上恒成立的符号分析

核心方法：（1）“同一点同切线”$\to$ 两条方程；（2）把 $f+g$ 分解为 $x(x-1)(x-2)$，恒成立式因式分解后逐因子看符号

避坑指南：“有相同的切线”且切点 $(2,0)$ 在两曲线上，故 $f(2)=0$ 与 $f^{\prime }(2)=g^{\prime }(2)$ 要同时用；因式分解 $(x-1)(x^2-2x-m)$ 是本题的枢纽——不做分解就无以下手；$m<0$ 保证 $x_1>1$（区间整体在 $x=1$ 右侧），这是"$x-1>0$"的前提，两端条件（$m>-\frac{1}{4}$ 与 $m<0$）缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数切线与恒成立题与 2011-天津卷文-19、2011-山东卷文-04、2012-新课标卷文-13 同族。

结论推广：推广：$x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$ 三根等距 $0,1,2$，其上平移 $-m(x-1)$ 后仍含因子 $(x-1)$——这种”平移保持公因子”的结构（根关于 $1$ 对称）使恒成立问题可彻底因式分解；一般地 $x^3-(s)x^2+px$ 型可先试分解。

方法推广：导数压轴题：切线条件 = 点条件 + 斜率条件；恒成立问题先因式分解或参变分离，再逐因子定号，端点条件与判别式联合给范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点
• 2011-山东卷文-04 单-导数切线截距
• 2012-新课标卷文-13 填-导数切线方程