2011-湖南卷文-08 单-值域交集取值

本题导读

本题考查指数函数的值域，以及二次函数的值域。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=e^x-1$，$g(x)=-x^2+4x-3$，若有 $f(a)=g(b)$，则 $b$ 的取值范围为 ()

A. $\left[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}\right]$　　　B. $\left(2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}\right)$　　　C. $[1,3]$　　　D. $(1,3)$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：“存在 $a$ 使 $f(a)=g(b)$“等价于 $g(b)$ 落入 $f$ 的值域
2. 步骤2：解不等式

✅【答案】

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B$\left(2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$f(a)=e^a-1$，由 $e^a>0$ 得 $f(a)>-1$，即 $f$ 的值域为 $(-1,+\infty )$。

“存在 $a$ 使 $f(a)=g(b)$“等价于 $g(b)\in (-1,+\infty )$，即 $g(b)>-1$。

$g(b)=-b^2+4b-3=-(b-2{)}^2+1$，故 $-(b-2{)}^2+1>-1$，即 $(b-2{)}^2<2$。

解得 $2-\sqrt{2}<b<2+\sqrt{2}$，选 B。

验：$b=2$ 时 $g(2)=1=e^a-1$ 有解（$a=\ln 2$）；$b=2\pm \sqrt{2}$ 时 $g=-1$，而 $f(a)>-1$ 无解，端点确应取开。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的值域；二次函数配方法；存在量词与值域交集

核心方法：把”存在 $a$：$f(a)=g(b)$“翻译成 $g(b)$ 必须落在 $f$ 的值域内，再解关于 $b$ 的不等式

避坑指南：端点开闭由 $f$ 值域是开区间决定：$e^a-1$ 取不到 $-1$，故 $g(b)=-1$ 的两个 $b$ 必须舍去——若把值域误记为 $[-1,+\infty )$ 就会错选 A；“有 $f(a)=g(b)$“的 "$a$" 是存在量词，与 $b$ 无关，别试图解出 $a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：值域交集题与 2013-福建卷文-07、2011-上海卷文-14、2013-北京卷文-13 同族。

结论推广：推广：“存在 $x_1\in A$，$x_2\in B$ 使 $h(x_1)=k(x_2)$“等价于两值域相交；若改为”对任意 $x_2\in B$ 存在 $x_1$“，则要求 $B$ 的值域包含于 $A$ 的值域，量词一换端点随变。

方法推广：存在型等式问题：固定一边求值域，把另一边作为”能取到的值”列包含关系；最后用端点值回代验开闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域