2011-湖南卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数代数形式的乘法运算，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 若 $a,b\in \mathbf{R}$，$\mathrm{i}$ 为虚数单位，且 $(a+\mathrm{i})\mathrm{i}=b+\mathrm{i}$，则 ()

A. $a=1,b=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $a=-1,b=1$

C. $a=-1,b=-1$　　　　　　　　　　　　　　D. $a=1,b=-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开等式左边：$(a+\mathrm{i})\mathrm{i}=a\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=-1+a\mathrm{i}$。
2. 依据复数相等的定义，令实部与实部相等、虚部与虚部相等，求出 $a,b$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $(a+\mathrm{i})\mathrm{i}=a\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=-1+a\mathrm{i}$， 由题意得：$-1+a\mathrm{i}=b+\mathrm{i}$。 又因为 $a,b\in \mathbf{R}$，所以： $\{\begin{array}{l}b=-1\\ a=1\end{array}$，即 $a=1,b=-1$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：${\mathrm{i}}^2=-1$ 与复数相等的定义。
• 核心方法：展开化为代数标准型 $x+y\mathrm{i}$ 后比较实虚部。
• 避坑指南：注意左边乘开后实部为 $-1$，切勿混淆实部与虚部的位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自复数基础代数运算与复数系的基本公理。
• 结论推广：若 $(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=x+y\mathrm{i}$，在复平面上等价于向量旋转与伸缩映射。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

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