2011-湖南卷理-03 单-球

本题导读

本题考查空间几何体的三视图还原，以及球的体积公式。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ()

A. $\frac{9}{2}\pi +12$　　　　B. $\frac{9}{2}\pi +18$　　　　C. $9\pi +42$　　　　D. $36\pi +18$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察三视图：上部正、侧视图为直径为 3 的圆，俯视图为圆，判定上部为一个直径为 3 的球。
2. 下部正、侧视图为底边为 3、高为 2 的矩形，俯视图为边长为 3 的正方形，判定下部为一个底面边长为 3、高为 2 的正四棱柱（长方体）。
3. 分别计算球与长方体的体积并求和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体是一个组合体： 上部是一个直径为 $2R=3$（半径 $R=\frac{3}{2}$）的球； 下部是一个底面是边长为 3 的正方形、高为 2 的正四棱柱（长方体）。

计算各部分体积：

• 球的体积为： $V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \times \frac{27}{8}=\frac{9}{2}\pi$。
• 下部正四棱柱的体积为： $V_{\text{柱}}=3\times 3\times 2=18$。

所以该几何体的总体积为： $V=V_{\text{球}}+V_{\text{柱}}=\frac{9}{2}\pi +18$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图还原、球体与柱体体积公式。
• 核心方法：识图拆解为基本空间几何体，套用公式累加。
• 避坑指南：注意图中给出球的总高标注为 3，即球的直径为 3，半径应为 $\frac{3}{2}$，切勿误当成半径为 3 计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考空间几何体度量经典题型，结合简单拼接组合考查空间想象能力。
• 结论推广：多面体与旋转体的常见组合结构，其三视图常通过相切关系或同轴对称呈现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积