2011-湖南卷理-09 填-参数方程

本题导读

本题考查参数方程化普通方程，以及极坐标方程化直角坐标方程。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha \end{array}$ ($\alpha$ 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，曲线 $C_2$ 的方程为 $\rho (\cos \theta -\sin \theta )+1=0$，则 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点个数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将曲线 $C_1$ 的参数方程消去参数 $\alpha$，化为直角坐标普通方程，识别为圆并求出圆心与半径。
2. 将曲线 $C_2$ 的极坐标方程利用 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$ 化为直角坐标普通方程，识别为一条直线。
3. 计算圆心到直线的距离 $d$，将其与半径 $r$ 比较大小，确定交点个数。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha \end{array}$， 变形为 $x=\cos \alpha$，$y-1=\sin \alpha$。 两式平方相加消去参数 $\alpha$，得普通方程为： $x^2+(y-1{)}^2=1$。 该曲线是圆心为 $(0,1)$、半径 $r=1$ 的圆。

曲线 $C_2$ 的极坐标方程展开为： $\rho \cos \theta -\rho \sin \theta +1=0$。 代入直角坐标变换公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，得直线方程： $x-y+1=0$。

计算圆心 $(0,1)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离： $d=\frac{|0-1+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0$。 因为 $d=0<r=1$（圆心恰在直线上），所以直线与圆相交，交点个数为 $2$。

故填：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标与直角坐标互化、参数方程消参、直线与圆的位置关系判定。
• 核心方法：求点到直线的距离 $d$，依据 $d<r$（相交，2个交点）、$d=r$（相切，1个交点）、$d>r$（相离，0个交点）直接得出结论。
• 避坑指南：极坐标转化时切勿遗漏常数项；注意消去三角参数时正弦和余弦的平方和为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修 4-4《坐标系与参数方程》的典型基础题型。
• 结论推广：对于圆心在坐标轴上的圆与极坐标直线方程 $\rho \cos (\theta -{\theta }_0)=p$，常通过统一直角坐标系转化为 $d$ 与 $r$ 的几何比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-湖南卷理-03
• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2014-北京卷理-03 单-圆参数方程