2014-北京卷理-03 单-圆参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程及其几何性质。核心在于通过参数方程识别出曲线为圆，并确定其对称中心（即圆心坐标），最后判断圆心所在的直线。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 曲线 $\{\begin{array}{l}x=-1+\cos \theta \\ y=2+\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数）的对称中心()

A. 在直线 $y=2x$ 上　　　　　　　　　　B. 在直线 $y=-2x$ 上

C. 在直线 $y=x-1$ 上　　　　　　　　D. 在直线 $y=x+1$ 上

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别曲线类型：观察参数方程结构。符合圆的参数方程标准形式 $\{\begin{array}{l}x=x_0+r\cos \theta \\ y=y_0+r\sin \theta \end{array}$。
2. 确定对称中心：圆是中心对称图形，其对称中心即为圆心 $(x_0,y_0)$。
3. 点线位置判定：将圆心坐标代入四个选项的直线方程中，验证哪一个等式成立。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定对称中心坐标 已知曲线参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=-1+\cos \theta \\ y=2+\sin \theta \end{array}$。 将其消去参数 $\theta$（利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$）： $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=1$。 这是一个圆心为 $(-1,2)$，半径为 1 的圆。 圆的对称中心即为其圆心，坐标为 $(-1,2)$。

第二步：验证圆心所在的直线 将 $x=-1,y=2$ 分别代入各选项：

• A 选项：$2=2\times (-1)=-2$（不成立）
• B 选项：$2=-2\times (-1)=2$（成立）
• C 选项：$2=-1-1=-2$（不成立）
• D 选项：$2=-1+1=0$（不成立）

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的参数方程与对称中心的识别。

2. 核心方法：消参化为标准方程求圆心，再代入直线验证。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+r\cos \theta \\ y=y_0+r\sin \theta \end{array}$。

2. 结论推广: 圆的对称中心即圆心 $(x_0,y_0)$。

3. 方法推广: 由参数方程识别曲线类型并求几何要素的问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程