2007-大纲卷I理-17 解-锐角三角形条件约束

本题导读

本题考查正弦定理的应用以及三角函数最值的求解。第一问利用正弦定理实现边角互化求出内角 $B$；第二问将目标代数式化为单单一弦波结构，并根据“锐角三角形”的刚性限制卡死自变量的定义域范围，进而解得取值区间。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 设锐角三角形 $ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，$a=2b\sin A$.

(1) 求 $B$ 的大小；

(2) 求 $\cos A+\sin C$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：已知边角混合等式 $a=2b\sin A$。利用正弦定理将边 $a,b$ 直接代换为角正弦值 $\sin A=2\sin B\sin A$。因为 $A$ 是三角形内角值， $\sin A\ne 0$，两边同约简即可解出 $\sin B$，结合锐角三角形限制锁定角 $B$。
2. 第二问：

• 由内角和定理 $A+B+C=\pi$ 且已知 $B=\frac{\pi }{3}$，得到 $C=\frac{2\pi }{3}-A$。

• 将 $C$ 代入目标式 $\cos A+\sin \left(\frac{2\pi }{3}-A\right)$ 中展开并合并为标准弦波。

• 锐角三角形必须满足每一个内角都在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内部。利用 $0<A<\frac{\pi }{2}$ 且 $0<\frac{2\pi }{3}-A<\frac{\pi }{2}$，交叉求出 $A$ 的合法定义域，最终通过其单调性确定数值取值范围。

✅【答案】

点击查看答案

由正弦定理，𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵.结合𝑎=2𝑏sin𝐴，得

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）根据正弦定理，三角形中的边长与其对角的正弦值成正比，即满足 $a=2R\sin A,b=2R\sin B$。 将此边角转换关系代入已知等式 $a=2b\sin A$ 中： $\sin A=2\sin B\sin A$ 因为 $△ABC$ 为锐角三角形，内角 $A\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以其正弦值恒正，即 $\sin A\ne 0$。 方程两边同时除以 $\sin A$ 进行约简，得到： $1=2\sin B⟹\sin B=\frac{1}{2}$

又因为 $△ABC$ 是锐角三角形，其所有内角必须严格小于 $\frac{\pi }{2}$， 所以，解得内角 $B$ 的大小为： $B=\frac{\pi }{6}$

（2）因为 $△ABC$ 中内角和为 $\pi$，且由（1）知 $B=\frac{\pi }{6}$， 所以有关系式： $A+C=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$，将其变形用 $A$ 表示 $C$： $C=\frac{5\pi }{6}-A$

将该关系代入需要求解范围的目标三角函数式中，并利用两角和差的正弦公式将其完全展开： $I=\cos A+\sin C=\cos A+\sin \left(\frac{5\pi }{6}-A\right)$ $I=\cos A+\sin \frac{5\pi }{6}\cos A-\cos \frac{5\pi }{6}\sin A$ 代入特殊角数值 $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2},\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$： $I=\cos A+\frac{1}{2}\cos A-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A\right)=\frac{3}{2}\cos A+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A$ 利用辅助角公式进行单弦合拢化简，提取公因式 $\sqrt{3}$： $I=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A\right)=\sqrt{3}\sin \left(A+\frac{\pi }{3}\right)$

下面我们利用锐角三角形的三个内角均小于 $90^{\circ }$ 的几何红线约束，精密推导自变量 $A$ 的合法定义域： $\{\begin{array}{l}0<A<\frac{\pi }{2}\\ 0<C<\frac{\pi }{2}⟹0<\frac{5\pi }{6}-A<\frac{\pi }{2}\end{array}$ 求解第二个不等式组分量： $-\frac{5\pi }{6}<-A<\frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{6}⟹-\frac{5\pi }{6}<-A<-\frac{\pi }{3}⟹\frac{\pi }{3}<A<\frac{5\pi }{6}$ 将两个范围取交集，得到自变量 $A$ 的核心合法区间为： $\frac{\pi }{3}<A<\frac{\pi }{2}$

不等式各项同时加上辅角偏移量 $\frac{\pi }{3}$，确定复合角的最终跨度： $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}<A+\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}⟹\frac{2\pi }{3}<A+\frac{\pi }{3}<\frac{5\pi }{6}$

在钝角区间 $\left(\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right)$ 内，正弦函数 $y=\sin t$ 是一个严格的单调递减函数。 我们分别计算两个边界端点对应的正弦函数值上限与下限：

• 当 $t=\frac{2\pi }{3}$ 时， $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
• 当 $t=\frac{5\pi }{6}$ 时， $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$。 由此得到该复合角的正弦值范围为开区间： $\frac{1}{2}<\sin \left(A+\frac{\pi }{3}\right)<\frac{\sqrt{3}}{2}$

各项整体乘以系数 $\sqrt{3}$，得到目标表达式 $I$ 的最终取值范围： $\frac{\sqrt{3}}{2}<\sqrt{3}\sin \left(A+\frac{\pi }{3}\right)<\frac{3}{2}$

所以， $\cos A+\sin C$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理边角等价互化、辅助角公式化单弦、锐角三角形隐含的每一个角皆小于 $\frac{\pi }{2}$ 的定义域连立。
2. 核心方法：范围复合代换放缩法。
3. 避坑指南：

• 第二问九成以上的同学都会漏掉隐藏限制导致大面积扣分。很多同学只简单认为 $0<A<\frac{\pi }{2}$，算出了不正确的范围。 必须牢记只要题目提到了“锐角三角形”， 除了当前的角 $A$ 是锐角外， 剩下的角 $C$（即 $\frac{5\pi }{6}-A$）也必须卡死在锐角范围内，由两角同时为锐角交截出的自变量范围才是唯一正确的定义域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查正弦定理边角互化、辅助角公式，是全国大纲卷I(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（统一代换消元法、变量范围截取法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：正弦定理边角互化、辅助角公式相互关联，解答中综合运用了统一代换消元法、变量范围截取法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2011-湖南卷理-17 解-两角和
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直