2011-福建卷理-04 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及面积型几何概型。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为边 $CD$ 的中点，若在矩形 $ABCD$ 内部随机取一个点 $Q$，则点 $Q$ 取自 $△ABE$ 内部的概率等于 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 设出矩形的长与宽，分别表示矩形 $ABCD$ 的面积与 $△ABE$ 的面积。
2. 根据几何概型概率公式 $P=\frac{S_{△ABE}}{S_{ABCD}}$ 计算结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设矩形 $ABCD$ 的边长 $AB=a$，$BC=b$。 则矩形 $ABCD$ 的面积为：

$$S_{ABCD}=ab.$$

点 $E$ 在边 $CD$ 上，所以 $△ABE$ 以 $AB$ 为底，高为矩形的宽 $BC=b$。 故 $△ABE$ 的面积为：

$$S_{△ABE}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}ab.$$

由几何概型概率计算公式得：

$$P=\frac{S_{△ABE}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}ab}{ab}=\frac{1}{2}.$$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：以面积为测度的几何概型。
• 核心方法：同底同高的三角形面积与矩形面积比例关系。
• 避坑指南：点 $E$ 无论在 $CD$ 的中点还是 $CD$ 上的任意一点，$△ABE$ 的底和高均不变，面积恒为矩形面积的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于初等平面几何面积性质与几何概型的直接融合。
• 结论推广：在平行四边形（或矩形）$ABCD$ 内任取一点，该点落在以一边为底、对边上任意一点为顶点的三角形内的概率恒为 $\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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