2013-福建卷理-11 填-几何概型

本题导读

本题考查古典概型与几何概型，以及几何概型。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 利用计算机产生 $0\sim 1$ 之间的均匀随机数 $a$，则事件“$3a-1>0$”的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总体区域：随机数 $a$ 在 $[0,1]$ 之间产生，因此总体区域的测度（长度）为 $L=1-0=1$。
2. 确定目标事件区域：解不等式 $3a-1>0$，求出 $a$ 的取值范围。
3. 计算目标长度：在 $[0,1]$ 范围内截取满足不等式的区间，计算其长度 $l$。
4. 计算概率：根据几何概型公式 $P=\frac{l}{L}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解不等式确定事件区域 由 $3a-1>0$ 得： $3a>1⟹a>\frac{1}{3}$

第二步：结合取值范围锁定区间 随机数 $a$ 的取值范围是 $[0,1]$。 满足条件的区间为 $(\frac{1}{3},1]$。

第三步：计算测度并求概率

• 总体区间长度 $L=1$。
• 目标区间长度 $l=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 根据几何概型概率计算公式： $P=\frac{l}{L}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$。

故答案为：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（一维长度型）。

核心方法：“解不等式定区间”。将概率问题转化为数轴上的几何测度计算。

避坑指南：注意解析中可能存在的笔误。若题目要求的是 $3a-1<0$，则范围为 $a<1/3$，概率应为 $1/3$。务必以题干文字要求为准。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：均匀分布、连续型随机变量。

结论推广：若随机数在 $[m,n]$ 之间，事件为 $a>k$，则概率为 $\frac{n-k}{n-m}$（假设 $m<k<n$）。

方法推广：对于二维随机数（如 $a,b\in [0,1]$），概率通常转化为平面区域的面积比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-12 单-几何概型
• 2015-福建卷文-08 单-几何概型
• 2015-湖北卷文-08 单-几何概型