2011-福建卷理-10 单-导数单调性

本题导读

本题考查导数与函数的单调性及凹凸性，以及平面向量数量积与三角形形状判定。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x+x$，对于曲线 $y=f(x)$ 上横坐标成等差数列的三个点 $A,B,C$，给出以下判断： ① $△ABC$ 一定是钝角三角形 ② $△ABC$ 可能是直角三角形 ③ $△ABC$ 可能是等腰三角形 ④ $△ABC$ 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 ()

A. ①③　　　　　　　B. ①④　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

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1. 设三点 $A,B,C$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$，公差为 $d>0$，则 $x_1=x_2-d$，$x_3=x_2+d$。
2. 计算向量 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的数量积。由 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+1>0$ 知 $f(x)$ 严格单调递增，分析纵坐标之差的符号，判定 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}<0$，从而确定 $\angle B$ 必为钝角，断定 ① 对 ② 错。
3. 在钝角三角形中，最长边必为钝角所对的边 $AC$，故等腰只能是 $|BA|=|BC|$；结合横坐标间距相等可知，这要求纵坐标增量相等，即三点共线，这与 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 严格凸函数矛盾，从而断定 ④ 对 ③ 错。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$。 因为横坐标成等差数列，不妨设公差 $d>0$，则： $x_1=x_2-d,x_3=x_2+d.$ 求导得 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+1>0$ 恒成立，所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。 因为 $x_1<x_2<x_3$，所以 $y_1<y_2<y_3$，即： $y_1-y_2<0,y_3-y_2>0.$

考虑向量 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$： $\overrightarrow{BA}=(x_1-x_2,y_1-y_2)=(-d,y_1-y_2),$ $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)=(d,y_3-y_2).$ 计算数量积： $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-d)\cdot d+(y_1-y_2)(y_3-y_2)=-d^2+(y_1-y_2)(y_3-y_2).$ 因为 $d>0$，所以 $-d^2<0$； 又 $(y_1-y_2)<0$，$(y_3-y_2)>0$，故 $(y_1-y_2)(y_3-y_2)<0$。 因此： $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}<-d^2<0.$ 这表明 $\cos \angle B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}<0$，即 $\angle B$ 必为钝角。 所以 $△ABC$ 一定是钝角三角形，判断 ① 正确，② 错误。

由于 $\angle B$ 为钝角，钝角所对的边 $AC$ 是 $△ABC$ 中的严格最长边， 即 $|AC|>|AB|$ 且 $|AC|>|BC|$。 若 $△ABC$ 为等腰三角形，则只能有 $|AB|=|BC|$。 两边平方得： $|AB{|}^2=|BC{|}^2⟹(-d{)}^2+(y_2-y_1{)}^2=d^2+(y_3-y_2{)}^2⟹(y_2-y_1{)}^2=(y_3-y_2{)}^2.$ 因为 $y_2-y_1>0$ 且 $y_3-y_2>0$，所以： $y_2-y_1=y_3-y_2⟹y_1+y_3=2y_2.$ 这意味着点 $B$ 为线段 $AC$ 的中点，即 $A,B,C$ 三点共线，不能构成三角形。 （事实上，因为 $f^{\prime \prime }(x)={\mathrm{e}}^x>0$ 为严格下凸函数，由琴生不等式 $f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_3)}{2}$，恒有 $y_2<\frac{y_1+y_3}{2}$，亦不可能相等）。 因此 $△ABC$ 不可能是等腰三角形，判断 ③ 错误，④ 正确。

综上所述，正确的判断是 ①④。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数判定单调性、向量数量积判定角（锐角、钝角、直角）、凸函数性质（琴生不等式）。
• 核心方法：向量坐标数量积法；利用钝角三角形最长边性质排除两腰相等的可能情况。
• 避坑指南：不可仅从图象直观猜测，严格判定 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}<0$ 是确定钝角的最严谨路径；等腰三角形的判定要紧扣钝角三角形的特征（长边对大角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于微积分中严格凸曲线（$f^{\prime \prime }(x)>0$）与单调递增曲线交汇所产生的几何内蕴性质。
• 结论推广：对任意满足 $f^{\prime }(x)>0$ 且 $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$ 的光滑曲线，横坐标成等差数列的三点构成的三角形恒为钝角三角形，且绝不可能为等腰三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.15 函数凹凸性定义
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性