2011-福建卷理-13 填-期望

本题导读

本题考查古典概型，以及组合与计数原理。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个. 若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算从 5 个球中任取 2 个球的基本事件总数 ${\mathrm{C}}_5^2$。
2. 计算 2 个球颜色不同（即 1 红 1 黄）的有利事件数 ${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_2^1$。
3. 应用古典概型概率公式 $P=\frac{m}{n}$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

从 5 个球中随机取出 2 个球，所有的基本事件总数为：

$$n={\mathrm{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10.$$

所取出的 2 个球颜色不同，即取出的球为 1 个红球和 1 个黄球，包含的有利事件数为：

$$m={\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_2^1=3\times 2=6.$$

所以，所取出的 2 个球颜色不同的概率为：

$$P=\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$$

故答案为：$\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型的概率计算、组合计数。
• 核心方法：直接法 $\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_2^1}{{\mathrm{C}}_5^2}$ 或对立事件法 $1-\frac{{\mathrm{C}}_3^2+{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_5^2}$。
• 避坑指南：本题为无放回同时抽取，应使用组合数 ${\mathrm{C}}_5^2$ 计算总数，不可误用有放回的乘法计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：超几何分布单点取值的标准特例。
• 结论推广：从含 $M$ 个 $A$ 类元素和 $N$ 个 $B$ 类元素中抽取 $n$ 个，各取若干个的概率服从超几何分布 $P(X=k)=\frac{{\mathrm{C}}_M^k{\mathrm{C}}_N^{n-k}}{{\mathrm{C}}_{M+N}^n}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II理-06
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数