2011-福建卷理-14 填-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理与正弦定理，以及解三角形综合应用。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 如图，$△ABC$ 中，$AB=AC=2$，$BC=2\sqrt{3}$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$\angle ADC=45^{\circ }$，则 $AD$ 的长度等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 在等腰 $△ABC$ 中，过 $A$ 作底边 $BC$ 的垂线或应用余弦定理，求出底角 $\angle C$ 的正弦与余弦值。
2. 在 $△ADC$ 中已知边 $AC=2$、内角 $\angle ADC=45^{\circ }$ 以及 $\sin C$。
3. 利用正弦定理 $\frac{AD}{\sin C}=\frac{AC}{\sin \angle ADC}$ 直接解得 $AD$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，因为 $AB=AC=2$，$BC=2\sqrt{3}$， 取 $BC$ 中点 $H$，连接 $AH$，则 $AH\perp BC$。 在 $\text{Rt}△AHC$ 中：

$$HC=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3},AC=2.$$

由勾股定理：

$$AH=\sqrt{A{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=1.$$

所以：

$$\sin C=\frac{AH}{AC}=\frac{1}{2}⟹C=30^{\circ }.$$

在 $△ADC$ 中，$\angle ADC=45^{\circ }$，$C=30^{\circ }$，$AC=2$。 由正弦定理得：

$$\frac{AD}{\sin C}=\frac{AC}{\sin \angle ADC}.$$

代入已知数值：

$$\frac{AD}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{\sin 45^{\circ }}⟹AD=\frac{2\times \sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}.$$

故答案为：$\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等腰三角形边角性质、正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$。
• 核心方法：拆分图形法（先解大等腰三角形求角，再解小三角形求边）。
• 避坑指南：点 $D$ 在线段 $BC$ 上，识别三角形对应角边关系时避免将 $\angle ADC$ 与 $\angle ADB$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：平面几何多三角形交织的常规解三角形问题。
• 结论推广：在三角形一侧已知内角和邻边时，连接截线的长度可由正弦定理一阶线性解析表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形