2011-福建卷理-21C 解-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 【C】设不等式 $|2x-1|<1$ 的解集为 $M$.

(1) 求集合 $M$；

(2) 若 $a,b\in M$，试比较 $ab+1$ 与 $a+b$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将绝对值不等式 $|2x-1|<1$ 转化为双向不等式 $-1<2x-1<1$，解不等式求得集合 $M$。
2. 第二问：利用作差法构造差式 $(ab+1)-(a+b)$，进行分组因式分解得 $(a-1)(b-1)$；结合第一问确定的 $a,b\in (0,1)$，判定因式正负号，从而确定两式的大小关系。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由题设不等式 $|2x-1|<1$， 等价于：

$$-1<2x-1<1.$$

各部分同加上 1，得：

$$0<2x<2.$$

各部分同除以 2，得：

$$0<x<1.$$

所以，集合 $M=\{x\mid 0<x<1\}$（或表示为区间 $(0,1)$）。

(2) 解： 对代数式 $ab+1$ 与 $a+b$ 进行作差：

$$\begin{array}{rl}(ab+1)-(a+b)& =ab-a-b+1\\ & =a(b-1)-(b-1)\\ & =(a-1)(b-1).\end{array}$$

因为 $a,b\in M$，即 $0<a<1$，$0<b<1$， 所以：

$$a-1<0,b-1<0.$$

由有理数乘法法则，同号得正：

$$(a-1)(b-1)>0.$$

所以：

$$(ab+1)-(a+b)>0,$$

即

$$ab+1>a+b.$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值不等式 $|ax+b|<c$ 的化简求解、作差法比较实数大小、十字相乘分组因式分解。
• 核心方法：作差因式分解法。
• 避坑指南：比较大小时不可只用具体的特值代入，必须给出一般性的因式分解符号判断过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：基础初等代数作差比较大小题，实质是两数在仿射组合下的区间保号性性质。
• 结论推广：若 $a,b\in (0,1)$，则恒有 $ab+1>a+b$；若 $a,b\in (1,+\infty )$，同样有 $ab+1>a+b$；当且仅当 $a,b$ 分居 1 的两侧时，$ab+1<a+b$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式
• 2014-广东卷理-09 填-绝对值不等式