2011-辽宁卷文-14 填-回归系数实际意义

本题导读

本题考查回归直线方程，以及回归系数的意义。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 调查了某地若干户家庭的年收入 $x$（单位：万元）和年饮食支出 $y$（单位：万元）.调查显示年收入 $x$ 与年饮食支出 $y$ 具有线性相关关系，并由调查数据得到 $y$ 对 $x$ 的回归直线方程：$\hat{y}=0.254x+0.321$.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 $1$ 万元，年饮食支出平均增加$\underline{}$万元.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：回归系数 $\hat{b}=0.254$ 即 $x$ 每增加 $1$ 个单位 $\hat{y}$ 的平均增量

✅【答案】

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$0.254$

✍【详细解析】

Abstract

回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 中，回归系数 $\hat{b}=0.254$ 的统计含义是：$x$ 每增加 $1$ 个单位，$\hat{y}$ 平均改变 $\hat{b}$ 个单位。

本题 $x$ 为年收入（万元），故年收入每增加 $1$ 万元，年饮食支出平均增加 $0.254$ 万元。

（截距 $\hat{a}=0.321$ 是 $x=0$ 时的理论值，与本题所问无关。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归系数 $\hat{b}$ 的实际解释；截距与斜率的区分

核心方法：直接读回归系数并按单位解释：“每增加 1 个 $x$，$y$ 平均增加 $\hat{b}$”

避坑指南：答案是斜率 $0.254$ 而不是截距 $0.321$——截距回答的是”收入为零时”的理论值；“平均增加”的表述不能省略，回归给出的是平均意义上的预测而非逐户保证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：回归直线解释题与 2011-陕西卷文-09、2013-重庆卷文-17 同族。

结论推广：推广：$\hat{b}$ 的解释模板——”$x$ 每增加（或减少）1 个单位，$y$ 平均增加（若 $\hat{b}>0$）$\hat{b}$ 个单位”；$\hat{a}$ 只在 $x=0$ 有实际背景时才作解释。

方法推广：回归概念填空题：认清问的是斜率还是截距，套解释模板作答，注意单位一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-09 单-回归直线过样本中心
• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测