2011-陕西卷文-09 单-回归直线过样本中心

本题导读

本题考查线性回归直线，以及样本中心点。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 设 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$\cdots$，$(x_n,y_n)$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的 $n$ 个样本点，直线 $l$ 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 ()

A. 直线 $l$ 过点 $(\bar{x},\bar{y})$

B. $x$ 和 $y$ 的相关系数为直线 $l$ 的斜率

C. $x$ 和 $y$ 的相关系数在 $0$ 到 $1$ 之间

D. 当 $n$ 为偶数时，分布在 $l$ 两侧的样本点的个数一定相同

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：用”回归直线过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$“与相关系数的概念逐项判断

✅【答案】

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A直线 $l$ 过点 $(\bar{x},\bar{y})$

✍【详细解析】

Abstract

最小二乘法得到的回归直线 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$ 中，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$，代入即 $\bar{y}=\hat{a}+\hat{b}\bar{x}$，说明回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$，A 正确。

B 错：相关系数 $r$ 与斜率 $\hat{b}$ 满足 $\hat{b}=r\cdot \frac{s_y}{s_x}$，一般不相等。

C 错：相关系数 $r\in [-1,1]$，可以为负，不一定落在 $(0,1)$。

D 错：回归直线不保证两侧样本点个数相同，与 $n$ 的奇偶无关。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归直线过样本中心点；相关系数与回归系数的区别

核心方法：由 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ 直接得”过中心点”；相关系数逐项用定义排除

避坑指南：三个错误选项各对应一个常见误解：斜率不等于相关系数（还差一个标准差之比 $\frac{s_y}{s_x}$）；$r$ 可负可零；直线两侧点数不由 $n$ 奇偶决定——“过中心点”与”平分两侧点”是两回事。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：回归直线概念题与 2012-湖南卷文-05、2013-福建卷文-11、2013-重庆卷文-17 同族。

结论推广：推广：$\hat{b}=r\cdot \frac{s_y}{s_x}$ 把斜率与相关系数联系起来；$|r|$ 越接近 $1$ 线性相关越强，$r$ 的符号与斜率符号一致。

方法推广：回归概念题：核心记忆点是”回归直线必过 $(\bar{x},\bar{y})$“，其余选项围绕 $r$ 的范围与符号设计干扰。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-05 单-回归直线概念
• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较
• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测