2011-辽宁卷理-01 单-复数模

本题导读

本题考查复数模的定义与性质，以及复数的代数除法。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 若 $a$ 为正实数，$\text{i}$ 为虚数单位，$\left|\frac{a+\text{i}}{\text{i}}\right|=2$，则 $a=$ ()

A. 2　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用复数模的商等于模的商，即 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$。
2. 建立关于 $a$ 的方程并结合 $a>0$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由复数模的性质： $\left|\frac{a+\text{i}}{\text{i}}\right|=\frac{|a+\text{i}|}{|\text{i}|}=\frac{\sqrt{a^2+1}}{1}=\sqrt{a^2+1}$ 依题意： $\sqrt{a^2+1}=2⟹a^2+1=4⟹a^2=3$ 因为 $a$ 为正实数，所以 $a=\sqrt{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数模的定义与性质。
• 核心方法：$|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|$ 简化运算，避免直接展开分母实数化。
• 避坑指南：注意 $a>0$ 的符号限定。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自复数乘除法几何模长乘积性质的基础题。
• 结论推广：对任意复数 $z_1,z_2$，恒有 $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$，$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}(z_2\ne 0)$。

🔗【关联脉络】

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