2011-辽宁卷理-05 单-期望

本题导读

本题考查古典概型，以及条件概率公式。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 从 1, 2, 3, 4, 5 中任取 2 个不同的数，事件 $A=$“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 $B=$“取到的 2 个数均为偶数”，则 $P(B|A)=$ ()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{2}{5}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 明确样本空间及事件 $A$（和为偶数）包含的样本点。
2. 确定事件 $A\cap B$（均为偶数且和为偶数，即均为偶数）包含的样本点。
3. 利用缩减样本空间法直接求比值：$P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

5 个数中有 3 个奇数（1, 3, 5）和 2 个偶数（2, 4）。 任取 2 个不同的数，事件 $A$（两数之和为偶数）包括两种互斥情形：

• 取到的 2 个数均为奇数：有 ${\text{C}}_3^2=3$ 种；
• 取到的 2 个数均为偶数：有 ${\text{C}}_2^2=1$ 种。 所以事件 $A$ 包含的基本事件总数为 $n(A)=3+1=4$。 事件 $B$（取到的 2 个数均为偶数）显然为 $A$ 的子集，即 $AB=B$。 其包含的基本事件数为 $n(AB)={\text{C}}_2^2=1$。 由条件概率公式（缩减样本空间）： $P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{1}{4}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：条件概率的基本计算 $P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}$。
• 核心方法：缩减样本空间法（直接在条件 $A$ 发生的前提下数基本事件个数）。
• 避坑指南：切勿将分母错用全样本空间总数 ${\text{C}}_5^2=10$，导致错求非条件概率 $P(B)=\frac{1}{10}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：概率论中条件概率与奇偶抽样模型的基本组合习题。
• 结论推广：从 $m$ 个奇数和 $n$ 个偶数中任取 2 数，在和为偶数的条件下两数全为偶数的概率为 $P=\frac{{\text{C}}_n^2}{{\text{C}}_m^2+{\text{C}}_n^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2022-天津卷-13 填-古典概型
• 2007-山东卷理-18 解-条件概率
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型