2022-天津卷-13 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及不放回抽样。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 52 张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，则两次都抽到 A 的概率为 $\underline{}$；已知第一次抽到的是 A，则第二次抽到 A 的概率为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

本题包含两个空，分别对应不同的概率概念：

1. 第一空：求“两次都抽到 A”，即事件 $A$（第一次抽到 A）与事件 $B$（第二次抽到 A）同时发生的概率 $P(AB)$。

2. 第二空：求“在第一次抽到 A 的条件下，第二次也抽到 A”，即条件概率 $P(B|A)$。

✅【答案】

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$\frac{1}{221}$；$\frac{1}{17}$

✍【详细解析】

Abstract

解题准备：

扑克牌共 $52$ 张，其中 A 共有 $4$ 张。记第一次抽到 A 为事件 $A$，第二次抽到 A 为事件 $B$。

第一空求解：两次都抽到 A 的概率 $P(AB)$

• 方法一：组合数法

  从 $52$ 张牌中无放回抽取 $2$ 张，总的抽取情况有 $C_{52}^2$ 种。

  若要两次都抽到 A，则需从 $4$ 张 A 中抽取 $2$ 张，情况有 $C_4^2$ 种。

  $P(AB)=\frac{C_4^2}{C_{52}^2}=\frac{\frac{4\times 3}{2\times 1}}{\frac{52\times 51}{2\times 1}}=\frac{6}{1326}=\frac{1}{221}$

• 方法二：乘法公式

  $P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$

  第一次抽到 A 的概率 $P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$。

  第二次抽到 A 的概率（在第一次已抽到 A 的前提下） $P(B|A)=\frac{3}{51}=\frac{1}{17}$。

  $P(AB)=\frac{1}{13}\times \frac{1}{17}=\frac{1}{221}$。

第二空求解：已知第一次抽到 A，第二次抽到 A 的概率 $P(B|A)$

• 方法一：缩减样本空间法（推荐）

  已知第一次抽到的是 A，此时牌盒中还剩下 $51$ 张牌，其中 A 还有 $3$ 张。

  因此，第二次抽到 A 的概率为：

  $P(B|A)=\frac{3}{51}=\frac{1}{17}$

• 方法二：条件概率公式法

  利用公式 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$：

  由前文计算知 $P(AB)=\frac{1}{221}$，$P(A)=\frac{1}{13}$。

  $P(B|A)=\frac{\frac{1}{221}}{\frac{1}{13}}=\frac{13}{221}=\frac{1}{17}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 概念区分

• $P(AB)$（积事件概率）：试验开始前观察，要求两个结果接连发生。

• $P(B|A)$（条件概率）：试验进行了一半，已知一部分信息后，求剩下结果发生的概率。

2. 不放回抽样的特点

不放回抽样中，第二次抽样的样本空间会受第一次结果的影响（总数减少，特定类别的数量可能也减少）。

3. 技巧总结

在处理条件概率填空题时，**“缩减样本空间法”**往往比套用公式更直接、更不容易出错。只要明确“当前还剩什么”和“目标还剩什么”即可快速得出结果。

4. 试题评价

本题属于概率初步的典型题，重点在于考查学生对基本概念的理解是否清晰，计算量适中，是高考概率部分的“送分题”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷理-05
• 2014-新课标II卷理-05 单-条件概率公式
• 2015-北京卷文-17 解-古典概型