2011-重庆卷文-15 填-指数方程最值

本题导读

本题考查指数式与对数式互化，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 若实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $2^a+2^b=2^{a+b}$，$2^a+2^b+2^c=2^{a+b+c}$，则 $c$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：令 $x=2^a$
2. 步骤2：$y=2^b$
3. 步骤3：$z=2^c$
4. 步骤4：由 $x+y=xy$ 得 $xy\ge 4$

✅【答案】

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$2-{\log }_{2}3$

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=2^a$，$y=2^b$，$z=2^c$（$x,y,z>0$）。 第一式即 $x+y=xy$。 第二式 $x+y+z=xyz$，把 $x+y=xy$ 代入得 $xy+z=xyz$， 故 $z=\frac{xy}{xy-1}=1+\frac{1}{xy-1}$。 由基本不等式，$xy=x+y\ge 2\sqrt{xy}$，即 $xy\ge 4$（当 $x=y=2$ 时取等）。 $z$ 随 $xy$ 的增大而减小，故 $z\le 1+\frac{1}{4-1}=\frac{4}{3}$，当且仅当 $xy=4$ 即 $a=b=1$ 时取等。 于是 $c={\log }_{2}z\le {\log }_2\frac{4}{3}=2-{\log }_{2}3$。 故 $c$ 的最大值为 $2-{\log }_{2}3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换元把指数条件线性化；基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$；对数单调性保序。

核心方法：指数整体换元 → 用第一式表示第三元 → 对称式放缩定最值 → 回化对数。

避坑指南：$xy\ge 4$ 的等号条件是 $x=y=2$（即 $a=b=1$），此时 $z=\frac{4}{3}$ 确可达到，最大值能取到而不是上确界；把 $z$ 的表达式化成 $1+\frac{1}{xy-1}$ 才能看出单调性，直接对 $z$ 放缩容易丢等号条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「指数和对等式 + 求某指数最值」是不等式与指数函数的交汇题，2012 山东文 15 的指数最值分类讨论为同板块进阶版。

结论推广：本题结构可推广：若 $x+y=xy$，则 $x+y+z=nxyz$ 型条件给出 $z=\frac{xy}{nxy-1}$，$xy\ge 4$ 时 $z\le \frac{4}{4n-1}$，最值随 $n$ 平移。

方法推广：多个指数式联立时，把每个幂设为独立变量化为代数方程组；对称条件（$a,b$ 地位相同）暗示最值在 $a=b$ 处取得，可作快速检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-15 填-指数函数最值与分类讨论
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值