2011-陕西卷文-12 填-四边形顶点线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数在顶点处取最值。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 如图，点 $(x,y)$ 在四边形 $ABCD$ 内部和边界上运动，其中 $A(1,1)$，$B(\sqrt{3},\sqrt{2})$，$C(\sqrt{5},1)$，$D(1,0)$，那么 $2x-y$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：目标函数是线性函数
2. 步骤2：最小值在四边形顶点处取得
3. 步骤3：逐顶点代入比较

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

目标函数 $z=2x-y$ 是线性函数，线性函数在凸多边形区域上的最值必在顶点处取得。

逐顶点计算：$z(A)=2\times 1-1=1$；$z(B)=2\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx 3.46-1.41\approx 2.05$；$z(C)=2\sqrt{5}-1\approx 4.47-1\approx 3.47$；$z(D)=2\times 1-0=2$。

其中最小值为 $z(A)=1$，在顶点 $A(1,1)$ 处取得。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性目标函数的最值；最值在区域顶点处取得

核心方法：线性目标的最值只需比较各顶点的函数值（顶点比较法）

避坑指南：含无理数坐标的顶点不宜硬比大小，用近似值粗排再精确比较即可；$2\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx 2.05>1$，别被 $B$ 点坐标”看着小”误导；最小值在 $A(1,1)$ 而不是 $D(1,0)$——$y$ 越大 $2x-y$ 越小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值题与 2011-浙江卷文-03、2012-四川卷文-08、2011-湖南卷文-14 同族。

结论推广：推广：线性目标函数 $z=ax+by+c$ 在多边形区域上的最值必在顶点处取得；顶点个数有限时，逐点代入是最稳妥的通用算法，无需画等值线。

方法推广：规划小题：写出全部顶点坐标，逐一代入目标函数，直接比大小；区域是否含边界决定端点取舍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值
• 2012-四川卷文-08 单-线性规划最值
• 2011-湖南卷文-14 填-线性规划含参