2010-新课标卷文-11 单-平行四边形线性规划

本题导读

考查线性规划。$D=A+C-B=(0,-4)$，$z=2x-5y$ 在四顶点取 $-12,-14,18,20$，内部取开区间 $(-14,20)$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 已知平行四边形 $ABCD$ 的三个顶点为 $A(-1,2)$、$B(3,4)$、$C(4,-2)$，点 $(x,y)$ 在平行四边形 $ABCD$ 的内部，则 $z=2x-5y$ 的取值范围是()

A. $(-14,16)$　　　B. $(-14,20)$　　　C. $(-12,18)$　　　D. $(-12,20)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $D=A+C-B=(-1+4-3,2-2-4)=(0,-4)$。
2. $z$ 在四顶点的值：$A$ 处 $-12$，$B$ 处 $-14$，$C$ 处 $18$，$D$ 处 $20$。
3. 内部不含边界，最小开 $-14$、最大开 $20$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由平行四边形性质 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，得 $D=A+C-B=(0,-4).$ 线性目标函数 $z=2x-5y$ 在四个顶点处的值分别为 $z_A=-2-10=-12,z_B=6-20=-14,z_C=8+10=18,z_D=0+20=20.$ 线性函数在闭区域上的最值在顶点取得，而点 $(x,y)$ 在内部（不含边界）， 故 $z\in (-14,20)$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行四边形的顶点坐标与线性规划

核心方法：由 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ 求第四顶点，目标函数顶点取值

避坑指南：“内部”不含边界，端点取不到，答案是开区间；$D$ 点坐标的求法是 $A+C-B$ 而非 $B+C-A$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行四边形 $ABCD$ 中 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，对角线互相平分，两种途径求 $D$。

结论推广：线性目标函数在凸多边形上的最值在顶点取得，内部点取严格介于最值之间的值。

方法推广：比较四顶点函数值时，最小在 $B(-14)$、最大在 $D(20)$，别漏算第四顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-06 单-线性规划开区域
• 2009-陕西卷文-14 填-线性规划最值
• 2011-陕西卷文-12 填-四边形顶点线性规划
• 2012-安徽卷文-08 单-线性规划最值