2011-陕西卷理-05 单-三视图

本题导读

本题考查空间几何体的三视图，以及几何体体积的计算。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ()

🔍【思路分析】

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1. 识别外部形体：主视图和左视图的外框为边长为 2 的正方形，俯视图外框为边长为 2 的正方形，说明外部为一个棱长为 2 的正方体。
2. 识别内部挖去部分：主视图和左视图内部为倒三角形虚线，俯视图内部为相切的圆，说明几何体内部挖去了一个底面圆与正方体上底面内切、顶点落在正方体下底面中心的倒立圆锥。
3. 体积等于正方体体积减去内嵌圆锥的体积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知： 该几何体是一个棱长为 2 的正方体内部挖去一个同高且底面与正方体上底面内切的圆锥。

• 外部正方体的体积为： $V_{\text{正方体}}=2\times 2\times 2=8$
• 内部圆锥的底面圆内切于边长为 2 的正方形， 故底面圆的直径为 2，半径为： $r=1$
• 圆锥的高与正方体的高相同，为： $h=2$
• 挖去的圆锥体积为： $V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times 2=\frac{2\pi }{3}$ 所以该几何体的体积为： $V=V_{\text{正方体}}-V_{\text{圆锥}}=8-\frac{2\pi }{3}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图还原空间几何体结构（实线与虚线的含义）、柱体与锥体体积计算。
• 核心方法：整体积减去挖去部分的“挖洞割补法”。
• 避坑指南：
• 俯视图中圆的直径为 2，半径为 $r=1$（切勿将直径 2 误当成半径代入）；
• 圆锥体积公式中含有系数 $\frac{1}{3}$，计算时勿漏乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修二空间几何体三视图与体积计算经典题型，属于机械加工“沉头孔/锥孔”构件的三视图模型。
• 结论推广：从柱体中挖去内切/同高锥体，剩余体积比例恒为原柱体体积减去对应锥体体积（柱体与同底等高锥体体积比为 $3:1$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-05 单-由直观图确定三视图
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2007-山东卷理-03 单-旋转体多面体结构特征