2011-陕西卷理-09 单-线性回归

本题导读

本题考查线性回归方程的几何性质，以及样本中心点的概念。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 设 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_n,y_n)$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的 $n$ 个样本点，直线 $l$ 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是 ()

A. $x$ 和 $y$ 的相关系数为直线 $l$ 的斜率

B. $x$ 和 $y$ 的相关系数在 0 到 1 之间

C. 当 $n$ 为偶数时，分布在 $l$ 两侧的样本点的个数一定相同

D. 直线 $l$ 过点 $(\overline{x},\overline{y})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 A 选项：回归直线的斜率 $\hat{b}$ 与相关系数 $r$ 符号相同，但数值一般不相等，排除 A。
2. 对 B 选项：由图可知直线斜率小于 0，变量 $x$ 与 $y$ 负相关，相关系数 $r\in (-1,0)$，排除 B。
3. 对 C 选项：最小二乘法追求的是所有样本点到直线的纵向偏差平方和最小，并不保证两侧样本点个数严格相等，排除 C。
4. 对 D 选项：根据最小二乘法原理，回归直线恒过样本中心点 $(\overline{x},\overline{y})$，D 正确。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 A 选项：回归直线的斜率为 $\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$，而样本相关系数为 $r=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}}$，两者概念与数值均不同，故 A 错误；
• 对于 B 选项：由图可知，回归直线 $l$ 从左上向右下倾斜，斜率 $\hat{b}<0$，因此变量 $x$ 与 $y$ 呈现负相关关系，相关系数 $r\in (-1,0)$，不可能在 0 到 1 之间，故 B 错误；
• 对于 C 选项：最小二乘法使得偏差平方和 $\sum [y_i-(\hat{b}{x}_i+\hat{a}){]}^2$ 达到最小，两侧样本点的个数不一定相同，故 C 错误；
• 对于 D 选项：由回归方程截距公式 $\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$，即 $\overline{y}=\hat{b}\overline{x}+\hat{a}$，说明线性回归直线必过样本中心点 $(\overline{x},\overline{y})$，故 D 正确。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性回归直线的特征性质（恒过样本中心点）及相关系数 $r$ 的符号与取值范围。
• 核心方法：概念精准对照与排除法。
• 避坑指南：切勿将回归直线与中位数线混淆（中位数将数据等分，而回归直线两侧样本点数目无需相等）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修三统计中变量的相关性与最小二乘法性质的基本概念题。
• 结论推广：对任意线性回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，残差之和恒为零，即 ${\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i)=0$；且直线必过重心 $(\overline{x},\overline{y})$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较
• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测
• 2012-新课标卷文-03 单-样本相关系数