2012-上海卷文-17 单-三角形形状判定

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 在 $△ABC$ 中，若 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B<{\sin }^{2}C$，则 $△ABC$ 的形状是()

A. 钝角三角形　　B. 直角三角形　　C. 锐角三角形　　D. 不能确定

🔍【思路分析】

破题导航

化为 $a^2+b^2<c^2$，$\cos C<0$，$C$ 为钝角，选 A。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，把角的正弦平方换成边的平方：${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B<{\sin }^{2}C$ 等价于 $a^2+b^2<c^2$。

由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<0$，故 $C$ 为钝角。

$△ABC$ 是钝角三角形，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化；余弦定理判断角的范围

核心方法：正弦定理把角的条件化为边的平方关系，再用余弦定理定号

避坑指南：${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B<{\sin }^{2}C$ 对应 $a^2+b^2<c^2$（最大边 $c$ 对最大角 $C$），方向别写反；只能判定 $C$ 是钝角，不能断定 $A$、$B$ 的形状。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形形状判定入口题，与 2013 年上海卷文第 5 题、2014 年天津卷文第 16 题同族。

结论推广：$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$：$a^2+b^2\gtrless c^2$ 分别对应 $C$ 锐、钝。

方法推广：形状判定题按”角化边 → 余弦定号 → 报形状”三步走。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2014-天津卷文-16 解-解三角形
• 2013-重庆卷文-18 解-余弦定理与面积最值