2014-天津卷文-16 解-解三角形

本题导读

先用正弦定理得 $b=\sqrt{6}c$，进而 $a=2c$；(2) 由 $\cos A$ 求 $\cos 2A$、$\sin 2A$ 再展开。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $a-c=\frac{\sqrt{6}}{6}b$，$\sin B=\sqrt{6}\sin C$.

(1) 求 $\cos A$ 的值；

(2) 求 $\cos \left(2A-\frac{\pi }{6}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1) 由正弦定理得 $b=\sqrt{6}c$，代入另一条件得 $a=2c$；(2) $\cos A=\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\sin A=\frac{\sqrt{10}}{4}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{6}}{4}$；(2) $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 及 $\sin B=\sqrt{6}\sin C$ 得 $b=\sqrt{6}c$。 代入 $a-c=\frac{\sqrt{6}}{6}b$ 得 $a=c+\frac{\sqrt{6}}{6}\times \sqrt{6}c=2c$。 由余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6c^2+c^2-4c^2}{2\times \sqrt{6}c\times c}=\frac{3c^2}{2\sqrt{6}{c}^2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。 (2) 因为 $A\in (0,\pi )$，由 $\cos A=\frac{\sqrt{6}}{4}$ 得 $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{10}{16}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。 $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=2\times \frac{6}{16}-1=-\frac{1}{4}$， $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{10}}{4}\times \frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{2\sqrt{60}}{16}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。 所以 $\cos \left(2A-\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2A\cos \frac{\pi }{6}+\sin 2A\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理与余弦定理

2. 核心方法：边角互化后求角

3. 避坑指南：先用正弦定理把 $\sin B=\sqrt{6}\sin C$ 化为 $b=\sqrt{6}c$，再由 $a-c=\frac{\sqrt{6}}{6}b$ 得 $a=2c$，三边统一成 $c$ 的倍数后可直接用余弦定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形与两角和差、二倍角公式。

2. 结论推广: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$；$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$；$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$。

3. 方法推广: “边角混合”条件一律先用正弦定理统一为边（或统一为角），再求值；求 $\cos (2A-\phi )$ 走二倍角 $+$ 两角差公式两步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理