本题导读
本题考查直线的倾斜角与斜率，以及函数的图象。
📌【题干】
Question
（2012年北京卷(理)） 某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 年的年平均产量最高，则 的值为()
A. B. C. D.
/2012-北京-08-题.png)
🔍【思路分析】
破题导航
- 转化代数本质：
- 设图中的离散散点坐标为 。
- 前 年的“年平均产量”定义为： 。
- 映射几何意义：
- 观察代数式 ，它在平面直角坐标系中恰好代表坐标原点 与动点 连线的斜率 。
- 问题转化为：寻找哪一个点 ，使得直线 的斜率达到全局最大。
- 数形结合判定：
- 将直尺一端固定在原点 ，另一端从左向右顺次旋转扫描各个散点。
- 随着 的增大，散点图象呈现先陡峭上扬、后逐渐平缓（上凸）的趋势。直线 的倾斜角先增大后减小，其最高临界切截点即为斜率最大处。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
第一步：建立斜率数学模型
依据题意，前 年的总产量为 。则前 年的年平均产量定义为：
在平面直角坐标系 中，散点集由一系列离散点 构成。 根据平面解析几何中直线的斜率公式，原点 与任意散点 连线的斜率满足：
因此，前 年的年平均产量 在几何上等价于直线 的斜率。 “年平均产量最高”这一要求，等价于寻找一个正整数 ，使得直线 的斜率 达到最大值。
第二步：结合图象实施数形结合分析
观察给定的离散函数图象趋势：
- 在 从 步进到 的阶段，图形的上升趋势较为陡峭。随着 的递增，原点与各点连线的倾斜角不断上扬，表明直线的斜率 处于单调递增状态；
- 当 时，直线 处于该离散点集凸包的边缘临界位置，倾斜角达到最大；
- 当 继续增大（如 ）时，由于总产量 的增长速度放缓，散点群的分布曲线开始弯曲变平（呈现上凸特征）。此时，原点与这些高位点的连线位置重新向下塌陷，倾斜角变小，斜率 开始转为递减。
由此可见，当时程序在 处，直线 的斜率截获全局最高峰。 即前 年的年平均产量最高，故 。
故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：均值代数式 向两点生成割线斜率的几何转化；离散型上凸函数图象的凸包边界识别。
- 核心方法：数形结合动态射影法。
- 避坑指南：
- 混淆了“年平均产量最高”与“总产量最高”：部分考生不作代数转化，仅凭直觉在图象中寻找位置最高的点，误认为最高点对应的 是答案，从而错选 D。请注意， 时总产量最高，但由于年数多，均摊下来的平均产量反而下降了。
- 混淆了割线斜率与切线斜率（边际产量）：本题要求的是平均产量（对应原点割线斜率 ），而不是第 年那单一年份的产量（对应相邻两点间线段的斜率 ）。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第8题，是全卷单选题的压轴题。题目脱离了繁琐的公式死记硬背，纯粹考查解析几何核心工具“斜率”在实际函数图象中的数形结合洞察力，极具逻辑美感与选拔功能。
- 结论推广： 在微观经济学（Microeconomics）与生产力流形中，本题模型被称为**“总产量（TP）、平均产量（AP）与边际产量（MP）的拓扑关系模型”**。
- 总产量 对应的散点与原点连线的斜率代表平均产量（AP）；
- 相邻两点间的瞬时变化率 代表边际产量（MP）。 根据微分中值不变量原理，当平均产量（斜率 ）达到最高点时，原点引出的割线恰好与该生产曲线相切。此时，平均产量必然与该点的边际产量严格相等。这一经济学核心规律在高中数学中通过斜率的最大值临界点得到了完美的几何实证。
🔗【关联脉络】
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