2013-江西卷理-13 填-函数的表示方法

本题导读

本题考查函数的概念，以及函数的表示方法。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内可导，且 $f(e^x)=x+e^x$，则 $f^{\prime }(1)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 方法一：换元法。
   • 设 $e^x=t$，则 $x=\ln t$。
   • 代入原式求出 $f(t)$ 的显式解析式。
   • 对 $f(t)$ 求导，再代入 $t=1$ 计算。
2. 方法二：复合函数求导法（链式法则）。
   • 对等式 $f(e^x)=x+e^x$ 两边关于 $x$ 求导。
   • 左边利用复合函数求导法则：$[f(e^x){]}^{\prime }=f^{\prime }(e^x)\cdot (e^x{)}^{\prime }$。
   • 令 $e^x=1$（即 $x=0$）代入导数等式求解 $f^{\prime }(1)$。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

解法一：换元法 第一步：还原函数解析式。 令 $e^x=t$，由于 $x\in \mathbb{R}$，则 $t\in (0,+\infty )$。 由 $e^x=t$ 可得 $x=\ln t$。 代入已知等式 $f(e^x)=x+e^x$，得： $f(t)=\ln t+t$

第二步：求导并取值。 对 $f(t)$ 关于 $t$ 求导： $f^{\prime }(t)=(\ln t{)}^{\prime }+(t{)}^{\prime }=\frac{1}{t}+1$ 将 $t=1$ 代入： $f^{\prime }(1)=\frac{1}{1}+1=2$

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解法二：复合函数求导法 第一步：两边求导。 等式 $f(e^x)=x+e^x$ 两边同时对 $x$ 求导得： $f^{\prime }(e^x)\cdot e^x=1+e^x$

第二步：代值计算。 题目要求 $f^{\prime }(1)$，需令 $e^x=1$，此时 $x=0$。 将 $x=0,e^x=1$ 代入导数等式： $f^{\prime }(1)\cdot 1=1+1$ $f^{\prime }(1)=2$

故填入答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的换元思想与基本初等函数导数公式 $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$。 2. 易错点： * 混淆 $f(e^x)$ 的导数。错误地认为 $[f(e^x){]}^{\prime }=f^{\prime }(e^x)$，而忽略了内部函数 $e^x$ 的导数。 * 带入数值错误。如果使用方法二，注意要使 $e^x=1$ 而非 $x=1$。

核心方法：见详细解析

避坑指南：对于形式如 $f(g(x))=h(x)$ 求 $f^{\prime }(a)$ 的题目，换元法通常更稳妥，因为它能给出完整的 $f(x)$ 图像感；而复合求导法则在计算上往往更快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：隐函数求导、反函数导数、高阶导数。

结论推广：若 $f(g(x))=h(x)$，则 $f^{\prime }(g(x))=\frac{h^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数
• 2015-上海卷文-04 填-反函数