2012-北京卷理-09 填-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 直线 $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-t\end{array}$ （ $t$ 为参数）与曲线 $\{\begin{array}{l}x=3\cos \alpha \\ y=3\sin \alpha \end{array}$ （ $\alpha$ 为参数）的交点个数为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 将直线的参数方程消去参数 $t$，转化为直角坐标一般式方程。
2. 将曲线的参数方程消去参数 $\alpha$，识别出该曲线为标准圆，并确定圆心坐标与半径。
3. 利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离 $d$。
4. 比较距离 $d$ 与半径 $R$ 的大小，由几何不变量性质判定交点个数。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：消去参数，重构直角坐标方程

• 化简直线方程： 已知直线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+t\dots \dots \text{(1)}\\ y=-1-t\dots \dots \text{(2)}\end{array}$ 由 ① 式得 $t=x-2$，将其代入 ② 式中以消去参数 $t$： $y=-1-(x-2)⟹y=-1-x+2⟹y=-x+1$ 整理成标准一般式方程： $x+y-1=0\dots \dots \text{(3)}$

• 化简曲线方程： 已知曲线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3\cos \alpha \dots \dots \text{(4)}\\ y=3\sin \alpha \dots \dots \text{⑤}\end{array}$ 将 ④ ⑤ 两式两边分别平方： $x^2=9{\cos }^2\alpha ,y^2=9{\sin }^2\alpha$ 两式相加，利用三角恒等式 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 消去参数 $\alpha$： $x^2+y^2=9\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)⟹x^2+y^2=9\dots \dots \text{⑥}$ 该方程表示一个以坐标原点 $O(0,0)$ 为圆心、半径 $R=3$ 的圆。

第二步：计算圆心到直线的距离并判定位置关系

利用点到直线的距离公式，计算圆心 $O(0,0)$ 到直线 $x+y-1=0$ 的垂直距离 $d$： $d=\frac{|1\times 0+1\times 0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

由于 $\sqrt{2}\approx 1.414⟹d\approx 0.707$，显然满足： $d=\frac{\sqrt{2}}{2}<3=R$

根据平面解析几何中直线与圆的位置关系判定定理： 当圆心到直线的距离 $d$ 严格小于圆的半径 $R$ 时，直线与圆相交，其交点个数为 $2$。

故答案为：$2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代入消参法与平方和消参法的应用；圆心到直线距离通式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 的解算。
2. 核心方法：直角坐标化归法；距离半径比较法（几何法）。
3. 避坑指南：

• 消参时注意各项正负号。如将 $t=x-2$ 代入 $y=-1-t$ 时，负号应分配给括号内的整体，避免因符号错误将直线算错。
• 判定交点个数时，切忌盲目使用代入联立方程求 $\Delta$ 的代数法，利用几何法比较 $d$ 与 $R$ 能够大幅度降低算量并提高准确率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第9题，属于填空题的第一题，旨在考查选考大类“坐标系与参数方程”中最基础的消参技巧与点线距离度量。
2. 结论推广： 若直线参数式为 $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$，圆参数式为 $\{\begin{array}{l}x=R\cos \alpha \\ y=R\sin \alpha \end{array}$。 其通用的直角坐标系位置方程由如下行列式与距离不变量刚性控制： 直线方程为 $b(x-x_0)-a(y-y_0)=0⟹bx-ay+(a{y}_0-b{x}_0)=0$。 通过该通式，可在考场上直接提取直线系数与常数项，免去消参步骤实现心算复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

• 17.05 直线与圆的位置关系 类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆

• 2010-安徽卷理-07 单-参数方程

• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程