2012-四川卷文-11 单-抛物线条数计数

本题导读

本题考查计数原理，以及抛物线的方程特征。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 方程 $ay=b^2{x}^2+c$ 中的 $a$，$b$，$c\in \{-2,0,1,2,3\}$，且 $a$，$b$，$c$ 互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()

A. $28$ 条　　　　　B. $32$ 条　　　　　C. $36$ 条　　　　　D. $48$ 条

🔍【思路分析】

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抛物线要求 $a\ne 0$ 且 $b\ne 0$；方程即 $y=\frac{b^2}{a}{x}^2+\frac{c}{a}$，由 $(a,b^2,c)$ 唯一确定。按 $a=-2,1,2,3$ 分类计数得 $9+7+9+7=32$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

要表示抛物线，须 $a\ne 0$（否则左边为 $0$）且 $b\ne 0$（否则退化为直线）。此时方程可写为 $y=\frac{b^2}{a}{x}^2+\frac{c}{a}$，不同的抛物线由三元组 $(a,b^2,c)$（$a\ne 0$，$b\ne 0$，三者互异）确定；$b^2\in \{1,4,9\}$（$b=1$ 给 $1$，$b=\pm 2$ 给 $4$，$b=3$ 给 $9$）。

逐一按 $a$ 分类（$c\ne a$ 且 $c\ne b$，但 $b$ 可在平方值相同的两个值中任选，故 $c$ 只需 $c\ne a$ 且 $c$ 不等于”该平方值对应的全部 $b$“以外的限制）：

① $a=-2$：$b\in \{1,2,3\}$，平方值 $1,4,9$ 互异，每个平方值下 $c\in \{0,1,2,3\}\setminus \{b\}$ 有 $3$ 个，共 $3\times 3=9$ 条；

② $a=1$：平方值 $4$（$b=2$ 或 $-2$）时 $c$ 可取 $\{-2,0,2,3\}$ 共 $4$ 个；平方值 $9$（$b=3$）时 $c\in \{-2,0,2\}$ 共 $3$ 个，计 $4+3=7$ 条；

③ $a=2$：$b\in \{-2,1,3\}$，平方值 $4,1,9$ 互异，各 $3$ 个 $c$，共 $9$ 条；

④ $a=3$：平方值 $4$（$b=2$ 或 $-2$）时 $c\in \{-2,0,1,2\}$ 共 $4$ 个；平方值 $1$（$b=1$）时 $c\in \{-2,0,2\}$ 共 $3$ 个，计 $4+3=7$ 条。

合计 $9+7+9+7=32$ 条。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类加法计数原理；二次方程 $ay=b^2{x}^2+c$ 表示抛物线的条件；“不同曲线”的等价类

核心方法：把方程标准化为 $y=\frac{b^2}{a}{x}^2+\frac{c}{a}$，明确”抛物线 $⟺a\ne 0$ 且 $b\ne 0$“，并按 $a$ 分类、按平方值合并

避坑指南：$b^2$ 使 $b=2$ 与 $b=-2$ 给出同一条抛物线，直接按 $b$ 计数会把这一对算两次（多算导致 $36$ 或 $48$）；$c$ 的限制是”$c$ 与 $a$、$b$ 互不相同”，当平方值有两个 $b$ 可选时 $c$ 的可选范围反而变大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：计数与圆锥曲线综合题，与 2013 年陕西卷文第 10 题、2014 年四川卷文第 15 题的”新定义计数”风格同族。

结论推广：$ay=b^2{x}^2+c$ 中 $a$ 的符号只影响开口方向（$a<0$ 开口向下），不影响”是否为抛物线”；判别曲线类型先看二次项与一次项系数是否为零。

方法推广：计数题的三个关键动作：定”什么算相同”、找”独立参数”、按互异约束分层枚举。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题
• 2013-陕西卷文-10 单-取整函数命题
• 2015-四川卷文-15 填-真命题判定