2012-四川卷文-13 填-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及分式与根式有意义的条件。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$ 的定义域是$\underline{}$（用区间表示）.

🔍【思路分析】

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根式在分母中，须 $1-2x>0$，解得 $x<\frac{1}{2}$，定义域为 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$。

✅【答案】

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$\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{1-2x}$ 位于分母，既要使根式有意义，又要使分母不为零，所以被开方数必须严格为正：

$1-2x>0$。

解得 $x<\frac{1}{2}$。

所以函数的定义域为 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数定义域的求法；偶次根式被开方数非负；分式分母不为零

核心方法：把”根式 + 分母”的两条约束合成一条严格不等式，再解一元一次不等式

避坑指南：根式在分母时条件是 $1-2x>0$ 而不是 $1-2x⩾0$；写成 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$ 是本题最常见的错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数定义域填空题，与 2012 年广东卷文第 11 题、2013 年安徽卷文第 11 题同族。

结论推广：$y=\frac{1}{\sqrt{g(x)}}$ 型函数的定义域由 $g(x)>0$ 确定；若根式不在分母，则条件放宽为 $g(x)⩾0$。

方法推广：定义域题按”分母不为零 → 偶次根式被开方数非负 → 对数真数为正”三条约束逐项列式，再取交集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-11 填-函数定义域
• 2013-安徽卷文-11 填-函数定义域
• 2012-山东卷文-03 单-函数定义域