2012-山东卷文-03 单-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及分式与根式的限制条件。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{\ln (x+1)}+\sqrt{4-x^2}$ 的定义域为()

A. $[-2,0)\cup (0,2]$　　B. $(-1,0)\cup (0,2]$　　C. $[-2,2]$　　D. $(-1,2]$

🔍【思路分析】

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需 $x+1>0$、$\ln (x+1)\ne 0$、$4-x^2⩾0$，取交集得 $(-1,0)\cup (0,2]$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

三个限制条件：

（i）分式的分母不为零，且对数的真数为正：$x+1>0$ 且 $\ln (x+1)\ne 0$，即 $x>-1$ 且 $x\ne 0$；

（ii）二次根式被开方数非负：$4-x^2⩾0$，即 $-2⩽x⩽2$。

取交集得 $-1<x<0$ 或 $0<x⩽2$，即 $(-1,0)\cup (0,2]$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式、二次根式与对数式共存时定义域的求法

核心方法：逐项列出限制条件，再在数轴上取交集

避坑指南：$\ln (x+1)\ne 0$ 给出的是 $x\ne 0$ 而不是 $x\ne 1$（$\ln 1=0$ 对应 $x+1=1$）；$4-x^2⩾0$ 的端点可以取，故右端是闭的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含对数与根式的定义域题，与 2014 年山东卷文第 3 题、2013 年山东卷文第 5 题同族。

结论推广：定义域三查：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数为正（底数大于零且不等于 $1$）。

方法推广：求定义域时逐条列出不等式（组），最后取交集，端点开闭逐一核对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-山东卷文-05 单-函数定义域
• 2014-山东卷理-03 单-函数定义域