2012-四川卷文-17 解-独立事件与二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$，系统 $A$ 和 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$.

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$，求 $p$ 的值；

(2)求系统 $A$ 在 $3$ 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由 $1-\frac{1}{10}p=\frac{49}{50}$ 得 $p=\frac{1}{5}$；（2）$X\sim B\left(3,\frac{9}{10}\right)$，$P(X=2)+P(X=3)=\frac{243}{250}$。

✅【答案】

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(1)$p=\frac{1}{5}$；(2)$\frac{243}{250}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设系统 $A$、$B$ 发生故障的事件分别为 $A_0$、$B_0$，则 $P(A_0)=\frac{1}{10}$，$P(B_0)=p$。

“至少有一个系统不发生故障”的对立事件是”两个系统同时发生故障”，由独立性：

$1-P(A_0)P(B_0)=\frac{49}{50}$，即 $1-\frac{1}{10}p=\frac{49}{50}$。

解得 $\frac{1}{10}p=\frac{1}{50}$，即 $p=\frac{1}{5}$。

（2）系统 $A$ 在每次检测中不发生故障的概率为 $\frac{9}{10}$。设 $3$ 次检测中不发生故障的次数为 $X$，则

$X\sim B\left(3,\frac{9}{10}\right)$。

“不发生故障的次数大于发生故障的次数”即 $X>3-X$，也就是 $X=2$ 或 $X=3$。所求概率为

$P(X=2)+P(X=3)={\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{9}{10}\right)}^2\cdot \frac{1}{10}+{\left(\frac{9}{10}\right)}^3=\frac{243}{1000}+\frac{729}{1000}=\frac{972}{1000}=\frac{243}{250}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：“至少有一个”型事件的对立事件处理；相互独立事件的乘法公式；二项分布模型

核心方法：“至少”转”都不”；“次数大于”转成 $X=2$ 或 $X=3$，再套二项分布概率公式

避坑指南：（1）中”至少有一个不发生故障”包含三种情形（$A$ 好 $B$ 坏、$A$ 坏 $B$ 好、都好），逐个算很慢；用对立事件”都发生故障”只需一次乘法。注意题给的 $p$ 是故障概率，故 $1-\frac{1}{10}p=\frac{49}{50}$ 中两项都是故障概率的乘积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件与二项分布概率题，与 2012 年重庆卷文第 18 题、2013 年福建卷理第 16 题同族。

结论推广：“至少有一个”一律先取对立事件；$n$ 次独立重复试验中”成功次数多于失败次数”的临界条件是 $X>\frac{n}{2}$，$n$ 为奇数时即合并若干项的尾部概率。

方法推广：概率解答题先翻译事件（“至少""至多""大于”分别转成对立事件或区间的形式），再选模型（独立乘法、二项分布、古典概型）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率
• 2013-福建卷理-16 解-相互独立事件
• 2025-天津卷-13 填-二项分布