2007-四川卷文-17 解-产品检验概率拒收

本题导读

本题考查独立重复试验。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将产品发给商家，商家按合同规定抽取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品．

(1) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.3，从中任意取出 4 件进行检验，求至少有 1 件是合格产品的概率；

(2) 若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件来进行检验，只有 2 件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家抽到不合格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率．

🔍【思路分析】

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1. (1) 各件产品是否合格相互独立，对立事件为 4 件全不合格：$P=1-0.7^4$。
2. (2) 20 件中 17 件合格、3 件不合格，任取 2 件共 ${\mathrm{C}}_{20}^2=190$ 种取法。
3. $P(Y=1)=\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_{17}^1}{190}=\frac{51}{190}$，$P(Y=2)=\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{190}=\frac{3}{190}$。
4. 接收当且仅当 2 件全合格，拒收即 $Y⩾1$：$P=\frac{51+3}{190}=\frac{27}{95}$。

✅【答案】

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(1) $0.7599$；(2) $P(Y=1)=\frac{51}{190}$，$P(Y=2)=\frac{3}{190}$，拒收的概率为 $\frac{27}{95}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设抽取的 4 件产品中合格产品的件数为随机变量 $X$．每件产品合格的概率为 $0.3$，不合格的概率为 $0.7$，各件相互独立． 至少有 1 件合格的对立事件是 4 件全不合格，故 $P(X⩾1)=1-P(X=0)=1-0.7^4=1-0.2401=0.7599$． (2) 这 20 件产品中有 17 件合格、3 件不合格，任取 2 件的基本事件数为 ${\mathrm{C}}_{20}^2=190$．设抽到的不合格产品数为随机变量 $Y$，则 $P(Y=1)=\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_{17}^1}{{\mathrm{C}}_{20}^2}=\frac{3\times 17}{190}=\frac{51}{190}$， $P(Y=2)=\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_{20}^2}=\frac{3}{190}$． 只有 2 件都合格（$Y=0$）时才接收，故拒收的事件为 $Y⩾1$， $P(\text{拒收})=P(Y=1)+P(Y=2)=\frac{51+3}{190}=\frac{54}{190}=\frac{27}{95}$． 【注】原卷此小问印刷为每件产品合格的概率为 0.3，与答案册 $1-0.7^4=0.7599$ 自洽（部分网络版本作 0.8，与之矛盾），按原卷 0.3 录入．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：产品检验概率拒收

核心方法：(1) 对立事件全不合格 $1-0.7^4=0.7599$；(2) $\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_{17}^1}{{\mathrm{C}}_{20}^2}=\frac{51}{190}$，拒收 $\frac{27}{95}$

避坑指南：至少问题用对立事件；“任取 2 件”是不放回抽取，用组合 ${\mathrm{C}}_{20}^2$ 而非独立重复 $0.3\times 0.3$，两问模型不同

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：产品检验概率承接全国卷概率应用题传统，融合独立重复与古典概型两问

结论推广：推广：拒收概率的一般式 $1-\frac{{\mathrm{C}}_{n-k}^2}{{\mathrm{C}}_n^2}$

方法推广：概率大题第 (1) 问常为独立重复（用对立事件），第 (2) 问为不放回抽取（用组合计数），先辨模型再动笔

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

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• 2012-四川卷文-17 解-独立事件与二项分布
• 2011-四川卷文-17 解-分段费用独立事件
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