2012-大纲卷文-06 单-数列递推求和

本题导读

本题考查与的互化，以及等比数列的通项。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=1$，$S_n=2a_{n+1}$，则 $S_n=$()

A. $2^{n-1}$　　　　B. ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$　　　　C. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$　　　　D. $\frac{1}{2^{n-1}}$

🔍【思路分析】

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$a_2=\frac{1}{2}$，$n⩾2$ 时 $a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n$，$S_n=2a_{n+1}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$S_1=a_1=1$，由 $S_1=2a_2$ 得 $a_2=\frac{1}{2}$。

$n⩾2$ 时，$S_n-S_{n-1}=a_n$，又 $S_n=2a_{n+1}$、$S_{n-1}=2a_n$，故 $2a_{n+1}-2a_n=a_n$，即 $a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n$（$n⩾2$）。

所以 $n⩾2$ 时 $a_n=a_2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$。

故 $S_n=2a_{n+1}=2\times \frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$，选 B。

验证：$S_1=1={\left(\frac{3}{2}\right)}^0$，$S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，均吻合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的互化；等比数列的通项

核心方法：“给 $S_n$ 求通项”分两段：$n=1$ 单独验证，$n⩾2$ 用 $S_n-S_{n-1}=a_n$

避坑指南：递推 $a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n$ 只对 $n⩾2$ 成立，$a_1$ 与 $a_2$ 不构成公比 $\frac{3}{2}$——不加区分直接写 $a_n={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$ 就错了；本题最终问 $S_n$（恰为等比），而非 $a_n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：”$S_n$ 与 $a_n$ 互化”核心题型，与 2012 年新课标Ⅰ文第 14 题、2013 年大纲卷文第 7 题同族。（★ 本题合集答案页标 A 系排印之误，独立复算与多方独立来源均确认为 B。）

结论推广：一般地，$S_n=k{a}_{n+1}$ 型：先由 $n=1$ 定 $a_2$，再用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 化成等比递推，最后回代 $S_n=k{a}_{n+1}$ 求 $S_n$。

方法推广：见 $S_n$ 与 $a_n$ 混合递推：先写 $S_n-S_{n-1}=a_n$，标注适用范围 $n⩾2$，再用 $n=1$ 补齐初值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-14 填-等比数列公比
• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和