2012-大纲卷文-09 单-向量与射影定理

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及直角三角形的射影定理。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） $△ABC$ 中，$AB$ 边的高为 $CD$，若 $\overrightarrow{CB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CA}=\vec{b}$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，则 $\overrightarrow{AD}=$()

A. $\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}$　　　B. $\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}$　　　C. $\frac{3}{5}\vec{a}-\frac{3}{5}\vec{b}$　　　D. $\frac{4}{5}\vec{a}-\frac{4}{5}\vec{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 说明 $\angle C=90^{\circ }$，$AD=\frac{A{C}^2}{AB}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，比例系数 $\frac{4}{5}$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 即 $CB\perp CA$，$\angle C=90^{\circ }$，$|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=2$，斜边 $AB=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。

$CD\perp AB$，在 Rt$△ABC$ 中由射影定理 $A{C}^2=AD\cdot AB$，故 $AD=\frac{A{C}^2}{AB}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$。

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\vec{a}-\vec{b}$，$D$ 在线段 $AB$ 上，故 $\overrightarrow{AD}=\frac{AD}{AB}\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}(\vec{a}-\vec{b})$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的线性运算；直角三角形的射影定理

核心方法：垂直条件定直角 → 射影定理求 $AD:AB$ → 沿 $\overrightarrow{AB}$ 按比例分解

避坑指南：$\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 同向，比例系数为 $\frac{AD}{AB}=\frac{A{C}^2}{A{B}^2}=\frac{4}{5}$；注意 $AD$ 是 $AC$ 在斜边上的投影，对应的是 $A{C}^2$ 而非 $B{C}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量与直角三角形结合，与 2013 年大纲卷文第 3 题（向量垂直）、2013 年四川卷文第 12 题（向量线性运算）同族。

结论推广：一般地，Rt$△ABC$（$\angle C=90^{\circ }$）中斜边上的高 $CD$ 分斜边为 $AD=\frac{A{C}^2}{AB}$，$BD=\frac{B{C}^2}{AB}$。

方法推广：向量分解题先找基准向量（本题 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}-\vec{b}$），再用比例系数线性表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-四川卷文-12 填-向量线性运算