2012-新课标卷文-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及正三角形的性质。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 已知正三角形 $ABC$ 的顶点 $A(1,1)$，$B(1,3)$，顶点 $C$ 在第一象限，若点 $(x,y)$ 在 $△ABC$ 内部，则 $z=-x+y$ 的取值范围是()

A. $(1-\sqrt{3},2)$　　　B. $(0,2)$　　　C. $(\sqrt{3}-1,2)$　　　D. $(0,1+\sqrt{3})$

🔍【思路分析】

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$C=(1+\sqrt{3},2)$，$z=-x+y$ 在顶点处取值 $0$、$2$、$1-\sqrt{3}$，开区域取开区间，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$|AB|=2$，$AB$ 竖直，正三角形第三个顶点在第一象限：$$\begin{gathered} C=(1+\sqrt{3}, \\ ,2) \end{gathered}$$（$AB$ 中点 $(1,2)$ 向右移高 $\sqrt{3}$）。

$z=-x+y$ 是线性目标函数，最值在顶点处取得：

$z_A=-1+1=0$，$z_B=-1+3=2$，$z_C=-(1+\sqrt{3})+2=1-\sqrt{3}$。

故最大值为 $2$（在 $B$），最小值为 $1-\sqrt{3}$（在 $C$）。

由于点在三角形内部（不含边界），范围取开区间：$$\begin{gathered} (1-\sqrt{3}, \\ ,2) \end{gathered}$$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的目标函数取值范围；正三角形的顶点坐标

核心方法：几何法定第三顶点 → 顶点处算 $z$ → 内部对应开区间

避坑指南：①第三顶点有两个，按”第一象限”取右边那个 $(1+\sqrt{3},2)$；②”内部”不含边界，端点要开——这是本题最大的坑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划与三角形结合，与 2013 年大纲卷文第 15 题、2013 年四川卷文第 8 题同族（直线型可行域）。

结论推广：一般地，目标函数 $z=Ax+By$ 在凸多边形（开）区域上的取值范围，端点值在各顶点处取得，“内部/边界”决定开闭。

方法推广：线性规划题先画可行域、标顶点，再平移直线 $-x+y=t$ 看极端位置；开闭性由题设区域是否含边界决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-08 单-线性规划最值
• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划