2012-湖北卷文-14 填-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y⩾-1,\\ x+y⩾1,\\ 3x-y⩽3,\end{array}$ 则目标函数 $z=2x+3y$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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可行域三个顶点处 $z$ 依次为 $3,13,2$，最小值为 $2$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组表示的可行域，其边界为三条直线：$x-y=-1$，$x+y=1$，$3x-y=3$。

三条直线两两相交，得可行域的三个顶点：

$x-y=-1$ 与 $x+y=1$ 交于 $(0,1)$；$x+y=1$ 与 $3x-y=3$ 交于 $(1,0)$；$x-y=-1$ 与 $3x-y=3$ 交于 $(2,3)$。

将各顶点代入 $z=2x+3y$：$z(0,1)=3$，$z(1,0)=2$，$z(2,3)=13$。

故 $z$ 的最小值为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性目标函数最值

核心方法：可行域顶点法：求交点、代值比较（或用平移直线法）

避坑指南：目标函数直线的斜率 $-\frac{2}{3}$ 与边界 $x+y=1$ 的斜率 $-1$、$3x-y=3$ 的斜率 $3$ 都不同，最值必在顶点取得，不会出现”整条边都是最优”的情形；判断最小还是最大要看 $z$ 沿法向量 $(2,3)$ 方向增大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求最值题，与 2012 年大纲卷文第 14 题、2013 年四川卷文第 8 题同族。

结论推广：$z=2x+3y$ 的等值线随 $z$ 增大沿向量 $(2,3)$ 方向平移；最小值在可行域”左下方向”最先触碰的顶点处取得。

方法推广：线性规划填空题的保险做法：画出三条边界、求出全部顶点、逐一代值，比单靠平移直线的图示判断更稳。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-08 单-线性规划最值
• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2012-大纲卷文-14 填-线性规划最值