2012-大纲卷理-07 单-二倍角

本题导读

本题考查二倍角公式，以及平方关系与同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 已知 $\alpha$ 为第二象限角，$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\cos 2\alpha =$()

A. $-\frac{\sqrt{5}}{3}$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{5}}{9}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{9}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 解析二倍角结构：要求 $\cos 2\alpha$，可联想到二倍角公式的平方差形式 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$。已知条件中已给出 $(\sin \alpha +\cos \alpha )$ 的值，故只需设法求出 $(\sin \alpha -\cos \alpha )$ 或利用恒等式转换。
2. 两边平方提炼信息：将已知条件两边平方，利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 的平方关系，能够直接求出倍角正弦值 $\sin 2\alpha$ 的数值。
3. 结合象限判定符号：由 $\alpha$ 为第二象限角，明确 $\sin \alpha >0$，$\cos \alpha <0$，可推导得出 $\sin \alpha -\cos \alpha >0$。通过恒等式 $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=1-\sin 2\alpha$ 即可算出这一因式。
4. 代入相乘得出答案：将上述因式代入平方差公式的分解式中相乘，即可求出答案。也可以通过二倍角平方关系 $\cos 2\alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}2\alpha }$ 直接计算后通过象限判断正负。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：因式分解与平方关系结合（最优解） 已知 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$，将方程两边同时平方得： $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2$ ${\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

因为同角三角函数基本关系满足 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$， 且二倍角正弦公式满足 $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$，代入上式变形得： $1+\sin 2\alpha =\frac{1}{3}⟹\sin 2\alpha =\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$

进而计算差的平方项： $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =1-\sin 2\alpha$ 将 $\sin 2\alpha =-\frac{2}{3}$ 代入得： $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=1-\left(-\frac{2}{3}\right)=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$

因为 $\alpha$ 为第二象限角，根据三角函数在各象限的符号特征： $\sin \alpha >0,\cos \alpha <0$ 两数相减，“正数减去负数”结果必然为正，即： $\sin \alpha -\cos \alpha >0$ 对分式开平方取正根： $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$

根据余弦二倍角公式的平方差形式，对其进行因式分解： $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$ 注意由于 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{\sqrt{15}}{3}$，则其相反数 $\cos \alpha -\sin \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{3}$。 代入数据乘积计算： $\cos 2\alpha =\left(-\frac{\sqrt{15}}{3}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{45}}{9}=-\frac{3\sqrt{5}}{9}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

故选 A

解法二：同角二倍角平方关系判定法 通过解法一两边平方，同样求得： $\sin 2\alpha =-\frac{2}{3}$

利用同角三角函数的二倍角平方关系 ${\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha =1$，可得： ${\cos }^{2}2\alpha =1-{\sin }^{2}2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$ $\cos 2\alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

下面通过角 $\alpha$ 的范围确定二倍角 $2\alpha$ 余弦值的正负： 因为 $\alpha$ 为第二象限角，满足： $\frac{\pi }{2}+2k\pi <\alpha <\pi +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 两边同乘以 2，扩大范围得倍角区间： $\pi +4k\pi <2\alpha <2\pi +4k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 这意味着角 $2\alpha$ 对应的位置在第三、第四象限或它们之间的边界。

因为在解法一中算得 $\sin 2\alpha =-\frac{2}{3}<0$， 根据已知 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}>0$，由于在第二象限内 $\sin \alpha$ 为正，$\cos \alpha$ 为负，两数相加能大于 0 意味着正数绝对值更大，即： $|\sin \alpha |>|\cos \alpha |⟹\sin \alpha >-\cos \alpha$ 由此可知，在第二象限内，角 $\alpha$ 的范围被进一步压缩在靠左侧靠近 $\frac{\pi }{2}$ 的前半区间，即： $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$ 两边同乘以 2 准确缩放倍角范围： $\pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}$ 此区间严格属于第三象限。在第三象限内，余弦值恒为负，即 $\cos 2\alpha <0$。

所以排除正根，最终结果为： $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$、二倍角的正弦与余弦公式的应用、象限角的范围缩放。
2. 核心方法：整体化平方代换法。遇到已知形如 $\sin \alpha \pm \cos \alpha$ 的条件求二倍角的值，两边平方引入 $\sin 2\alpha$ 是标准的通法。
3. 避坑指南：

• 开方正负号错判：解法二中计算出 ${\cos }^{2}2\alpha =\frac{5}{9}$ 后，部分考生不习惯对已知区间进行精确范围压缩，仅仅由 $\alpha$ 在第二象限误认为 $2\alpha$ 在第三或第四象限而无法确定符号，错选 C。
• 提取相反数错位：在解法一中，运用平方差公式时，注意分清 $(\sin \alpha -\cos \alpha )$ 与 $(\cos \alpha -\sin \alpha )$ 互为相反数，代入符号时不要漏掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于二倍角公式的常规综合求值练习。是高考对同角三角关系与倍角公式融合考查的经典中档试题。
2. 结论推广:

• 一般化推广模型：若已知三角函数线性代数式 $\sin \alpha +\cos \alpha =m(|m|\le \sqrt{2})$，根据平方关系，可得出其通用二倍角正弦值表达规律： $\sin 2\alpha =m^2-1$
• 根据二倍角的平方和恒等式关系，其对应的余弦值大小满足： $|\cos 2\alpha |=\sqrt{1-(m^2-1{)}^2}=\sqrt{2m^2-m^4}=|m|\sqrt{2-m^2}$
• 本题中 $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入验证其绝对值模长：$|\cos 2\alpha |=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \sqrt{2-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。确定其模长后，再辅以象限条件判定正负号，即可完全免去中间复杂的因式分解和差值求根的步骤。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式 类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-09 单-同角关系与二倍角

• 2014-新课标I卷文-02 单-三角函数符号

• 2015-广东卷文-16 解-三角恒等变换